Question

(Unifei) Um poliedro convexo de 48 arestas é formado somente por faces triangulares, quadrangulares e
hexagonais. Sabe-se que os números de faces triangulares, quadrangulares e hexagonais desse poliedro são
diretamente proporcionais a 2, 3 e 5, respectivamente. Determine o total de vértices desse poliedro.

Eu já vi a resolução em outros sites, mas neles as faces eram calculadas primeiro para que os vértices fossem calculados posteriormente. E foi isso que me confundiu.

Answer 1

• assunto: poliedro convexo.

• numero de faces:

 F = 2A = 2 * 48 = 96

 F = 3T + 4Q + 6H = 96

• da tarefa vem a proporcionalidade:

 T/2 = Q/3 = H/5

 Q = 3T/2

 H = 5T/2

 3T + 3T/2 + 5T/2 = 96

 3T + 3T/2 * 4 + 5T/2 * 6 = 97

 3T + 6T + 15T = 96

 24T = 96

 T = 96/24 = 4

 Q = 3T/2 = 12/2 = 6

 H = 5T/2 = 20/2 = 10

• numero de faces:

 F = 4 + 6 + 10 = 20 faces

• Relação de Euler:

 V + F = A + 2

 V + 20 = 48 + 2

 V = 50 - 20 = 30 vértices

• Note: devemos calcular primeiro o número de faces  porque elas sao proporcionais  ao  número de faces.