Question

(UNB) Suponha que 27!=n.10^p, em que n e p são inteiros positivos e n não é um múltiplo de 10. Determine o valor de p.

Answer 1

Olá.

 

Podemos resolver essa questão de 2 formas, sendo uma rápida e não muito detalhada e outra um pouco mais demorada e mais detalhada. Demonstro a forma mais rápida primeiro.

 

$\textsf{--------------------}$

 

     O fatorial de um número “n” representa o produto desse número com todos os seus antecessores inteiros até chegar em 1. Algebricamente, teremos:

 

$\mathsf{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot~~...~~\cdot1}$

 

     O número 10 é composto pelo produto de 2 com 5, logo, podemos focar apenas nos números que em sua composição tem 2 ou 5. Entre 1 e 27, temos os seguintes números que satisfazem o necessário:

 

2, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 25, 26

 

Os múltiplos apenas de 5 são:

 

5, 10, 15, 20, 25

 

Em forma de produto de potência, esses números ficarão da seguinte maneira:

 

$\mathsf{5\cdot10\cdot15\cdot20\cdot25=}\\\\ \mathsf{5\cdot2\cdot5\cdot3\cdot5\cdot2^2\cdot5\cdot5^2=}\\\\ \mathsf{2^2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5^2=}\\\\ \mathsf{2^{2+1}\cdot3\cdot5^{1+1+1+1+2}=}\\\\ \mathsf{2^{3}\cdot3\cdot5^{6}}$

 

Como descobrimos que existem exatamente seis números 5, podemos afirmar que se existirem mais seis números 2, teremos seis números 10. Para obter a quantidade de números 2 necessária, basta decompor o produto de 4 com 16. Teremos:

 

$\mathsf{4\cdot16=2^2\cdot2^4=2^6}$

 

Apenas com isso, podemos afirmar que o valor de p é igual a 6.

 

$\textsf{--------------------}$

 

O modo mais demorado consiste no mesmo método que foi feito na última questão, só que dessa vez fatorando tudo. Indo de “10 em 10”, teremos:

 

$\mathsf{10!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}\\\\ \mathsf{10!=2\cdot3\cdot2^2\cdot5\cdot2\cdot3\cdot7\cdot2^3\cdot3^2\cdot2\cdot5}\\\\ \mathsf{10!=2\cdot2^2\cdot2\cdot2\cdot2^3\cdot3\cdot3\cdot3^2\cdot5\cdot5\cdot7}\\\\ \mathsf{10!=2^{1+2+1+1+3}\cdot3^{1+1+2}\cdot5^{1+1}\cdot7}\\\\ \mathsf{10!=2^{8}\cdot3^{4}\cdot5^2\cdot7}$

 

$\mathsf{20!-10!=20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11}\\\\ \mathsf{20!-10!=2^2\cdot5\cdot19\cdot2\cdot3^2\cdot17\cdot2^4\cdot3\cdot5\cdot2\cdot7\cdot13\cdot2^2\cdot3\cdot11}\\\\ \mathsf{20!-10!=2^2\cdot2\cdot2^4\cdot2\cdot2^2\cdot3\cdot3^2\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19}\\\\ \mathsf{20!-10!=2^{2+1+4+1+2}\cdot3^{1+2+1}\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19}\\\\ \mathsf{20!-10!=2^{10}\cdot3^{4}\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19}$

 

$\mathsf{27!-20!=27\cdot26\cdot25\cdot24\cdot23\cdot22\cdot21}\\\\ \mathsf{27!-20!=3^3\cdot2\cdot13\cdot5^2\cdot2^3\cdot3\cdot23\cdot2\cdot11\cdot3\cdot7}\\\\ \mathsf{27!-20!=2\cdot2\cdot2^3\cdot3\cdot3^3\cdot3\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13\cdot23}\\\\ \mathsf{27!-20!=2^{1+1+3}\cdot3^{1+3+1}\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13\cdot23}\\\\ \mathsf{27!-20!=2^{5}\cdot3^{5}\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13\cdot23}$

 

Unindo tudo, teremos:

 

$\mathsf{(2^{5}\cdot3^{5}\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13\cdot23)(2^{10}\cdot3^{4}\cdot5^2\cdot7\cdot11\cdot13\cdot17\cdot19)(2^{8}\cdot3^{4}\cdot5^2\cdot7)}\\\\ \mathsf{2^{5+10+8}\cdot3^{5+4+4}\cdot5^{2+2+2}\cdot7^{1+1+1}\cdot11^{1+1}\cdot13^{1+1}\cdot17\cdot19\cdot23}\\\\ \mathsf{2^{23}\cdot3^{13}\cdot5^{6}\cdot7^{3}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot17\cdot19\cdot23}$

 

Para encontrar os números 10, fazemos o mesmo modo da resolução anterior. Teremos:

 

$\mathsf{2^{23}\cdot3^{13}\cdot5^{6}\cdot7^{3}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot17\cdot19\cdot23}\\\\ \mathsf{2^{17}\cdot2^6\cdot3^{13}\cdot5^{6}\cdot7^{3}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot17\cdot19\cdot23}\\\\ \mathsf{(2^6\cdot5^6)\cdot2^{17}\cdot3^{13}\cdot7^{3}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot17\cdot19\cdot23}\\\\ \mathsf{(10^6)\cdot2^{17}\cdot3^{13}\cdot7^{3}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot17\cdot19\cdot23}$

 

Com base no que foi mostrado, podemos definir valores para p e n, são eles:

 

$\begin{cases} \mathsf{p=}&\mathsf{6}\\ \mathsf{n=}&\mathsf{2^{17}\cdot3^{13}\cdot7^{3}\cdot11^{2}\cdot13^{2}\cdot17\cdot19\cdot23} \end{cases}$

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$