Question

Um terreno retangular tem o perimetro de 170 metros e sua área é de 1650m. Determine sua largura e comprimento.

Answer 1

Calcula-se a área de uma retângulo multiplicando o comprimento pela largura:

$\mathsf{A=C\,.\,L}$
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O perímetro é a soma de todos os lados da figura. Para o retângulo teremos:

$\mathsf{P=2C\,+\,2L\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\, P=2\,(C\,+\,L)}$
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Utilizando as medidas do enunciado para área e perímetro teremos o seguinte sistema:

$\mathsf{\begin{cases} \mathsf{C\,.\,L=1650}\\ \\ \mathsf{2\,(C\,+\,L)=170}\end{cases}\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{cases}\mathsf{C\,.\,L=1650}\\ \\ \mathsf{C\,+\,L=85}\end{cases}}$

Isolando, por exemplo, C na segunda equação, teremos:

$\mathsf{C=85\,-\,L}$

Substituindo na primeira ficamos com:

$\mathsf{(85\,-\,L)\,.\,L=1650}\\ \\ \\ \mathsf{85\,L\,-\,L^{2}=1650\,\,\,\,\, \to \,\,\,\,\,\boxed{\mathsf{L^{2}-85\,L\,+\,1650=0}}}$

Resolvendo por Bhaskara teremos:

$\mathsf{L=\dfrac{-b\,\pm\,\sqrt{b^{2}\,-\,4\,a\,c}}{2\,.\,a}=\dfrac{85\,\pm\,\sqrt{(-85)^{2}-4\,.1\,.1650}}{2}=\dfrac{85\,\pm\,\sqrt{625}}{2}=\dfrac{85\,\pm\,25}{2}}$

O que nos dá dois valores para a largura L:

$\begin{cases}\mathsf{L_{1}=\dfrac{85\,+\,25}{2}=\boxed{\mathsf{55}}}\\ \\\mathsf{L_{2}=\dfrac{85-25}{2}=\boxed{\mathsf{30}}}\end{cases}$

Note que, duas medidas para o comprimento já implica na resposta com um lado sendo a largura maior e o outro a largura menor.

Para comprovar, vamos substituir os valores da largura na primeira equação, por exemplo. Teremos os mesmos valores para o comprimento:

$\mathsf{C\,.\,55=1650\,\,\,\,\to\,\,\,\,\boxed{\mathsf{C=30}}}\\ \\ \\ \mathsf{C\,.\,30=1650\,\,\,\,\to\,\,\,\,\boxed{\mathsf{C=55}}}$

Assim, teremos como resposta

$\boxed{\boxed{\mathsf{\text{Comprimento}=55\,\,\,m\,\,\,ou\,\,\,30\,\,\,m}}}\\ \\ \\ \boxed{\boxed{\mathsf{\text{Largura}=30\,\,\,m\,\,\,ou\,\,\,55\,\,\,m}}}$