Question

Uma urna contém uma bola azul e duas bolas vermelhas. O experimento consiste em sortear uma bola, olhar a cor, devolver a bola à urna, sortear novamente, olhar a cor, devolver mais uma vez à urna, e sortear uma última vez a bola, e anotar a cor. Seja X a variável aleatória que representa o número de bolas azuis sorteadas. Calcule P(X=1).

Answer 1

A probabilidade de retirar uma bola de uma das cores em cada retirada será igual a razão entre o número de bolas daquela cor e o número total de bolas. Desse modo, como as bolas são sempre devolvidas a urna após serem retiradas, as probabilidades de obter as cores azul e vermelha serão sempre as mesmas.

$Azul: P=\frac{1}{3} \\ \\ Vermelho:P=\frac{2}{3}$

Nessa questão, queremos calcular a probabilidade de ter apenas uma bola azul sorteada. Como temos uma bola sendo retirada três vezes, precisamos que dois resultados sejam bolas vermelhas. Contudo, essa bola azul pode ser retirada em três posições diferentes, por isso devemos multiplicar por esse valor. Logo, a probabilidade de retirar apenas uma bola azul será:

$P=3\times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}  = \frac{4}{9}$

Portanto, existem 4/9 chances de exatamente uma bola azul ser sorteada.