Question

Uma progressão geométrica tem quatro termos. O segundo termo é igual a −14 e a soma dos três primeiros termos é igual a 86. Sabendo que o quarto termo é um número entre −1 e 1, o produto de todos os termos da progressão é igual a

Answer 1

Olá Leonardocaetanovm4ux,

Conferindo $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ os valores $(x,bx,b^2x,b^3x)$ respectivamente, temos, segundo o enunciado:

1) 

$a_2=-14\\bx=-14$

2)

$a_1+a_2+a_3=86\\x+bx+b^2x=86\\x-14+b*(bx)=86\\x+b*(-14)=100\\x-14b=100$

Colocando 1) e 2) em um sistema, temos:

$\left \{ {{bx=-14} \atop {x-14b=100}} \right. \\\\ \left \{ {{bx=-14} \atop {x=100+14b}}$

Substituindo a equação 2 em 1, temos:

$b*(14b+100)=-14\\\\14b^2+100b+14=0\\\\b^2+\frac{100}{14}b+1=0\\\\b^2+\frac{50}{7}b+1=0\\\\(a=1;B=\frac{50}{7};c=1)\\\\\Delta=B^2-4ac\\\Delta=(\frac{50}{7})^2-4*1*1\\\Delta=\frac{2500}{49}-4\\\Delta=\frac{2304}{49}\\\\b=\frac{-B\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\b=\frac{-\frac{50}{7}\pm\sqrt{\frac{2304}{49}}}{2*1}\\\\x=\frac{-\frac{50}{7}\pm\frac{48}{7}}{2}\\\\b=\frac{-50\pm 48}{14}\implies \mathsf{ \left \{ {{b_1=-\frac{1}{7}} \atop {b_2=-7}}} \right.$

$bx=-14\\\\b_1x_1=-14\\-\frac{1}{7}x_1=-14\\x_1=-14*7\\x_1=98\\\\b_2x_2=-14\\-7x_2=-14\\x_2=2$

Agora temos que conferir quais pares ordenados $(x_1,y_1)$ ou $(x_2,y_2)$ satisfazem a última condição:

3) 

$-1 \leq a_4\leq 1\\-1\leq b^3x\leq1\\\\-1\leq b_1^3x_1\leq 1\\-1\leq (-\frac{1}{7})^3*(98)\leq 1 \\-1\leq -\frac{1}{343}*98\leq 1\\ -1\leq -\frac{2}{7} \leq 1 \\ "Verdade"\\\\-1\leq b_2^3x_2\leq 1\\-1\leq (-7)^3*2\leq 1\\-1\leq -343 * 2 \leq 1\\ -1 \leq -686 \leq 1 \\"Falso"$

Descobrimos que o par ordenado $(b=-\frac{1}{7},x=98)$ satisfazem as 3 condições impostas.

Usando essas informações, conseguiremos responder à questão final.

$R=a_1*a_2*a_3*a_4\\\\R=x*bx*b^2x*b^3x\\\\R=b^6x^4\\\\R=(-\frac{1}{7})^6*98^4\\\\R=[(-7)^{-1}]^6*[2*7^2]^4\\\\R=(-7)^{-6}*2^4*(7^2)^4\\\\R=(-1*7)^{-6}*2^4*7^8\\\\R=(-1)^{-6}*7^{-6}*2^4*7^8\\\\R=(-1)^{-6}*2^4*7^{-6+8}\\\\R=(-1)^{-6}*2^4*7^2\\\\R=\frac{1}{(-1)^6}*16*49\\\\\boxed{R=784}$

Dúvidas? Comente!