Question

Uma pessoa encontra se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante se ela caminhar 80 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C prédio, sob um ângulo de 60°.Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido A para B para que possa enxergar o topo do pré dio sob um ângulo de 30°.

A)310m
B)300m
C)270m
D)240m

Qual seria alternativa correta com cálculos por favor?

Answer 1

Vamos chamar ao ponto de onde esta pessoa poderá enxergar o prédio sob um ângulo de 30º de D.
Assim, teremos um triângulo BCD, no qual:
- O ângulo DBC mede 120º, pois é externo ao ângulo ABC, que mede 60º;
- O ângulo BDC medirá 30º, por imposição do problema;
- Então, o ângulo BCD também medirá 30º, pois a soma dos ângulos internos do triângulo BCD é igual a 180º.
- Como consequência, o triângulo BCD é isósceles (os ângulos da base são iguais) e os lados BC e BD são iguais [1].
- BD é a distância que estamos procurando para solucionar a questão. Como ela é igual a BC, basta então obtermos o valor da distância BC.
- Este valor pode ser obtido no triângulo ABC, pois:
- O triângulo ABC é retângulo, nele conhecemos os três ângulos (A = 90º,      B = 60º e C = 30º), além de conhecemos o cateto AB (90 m).
- A hipotenusa deste triângulo pode ser obtida pela função trigonométrica seno (ou cosseno), pois:
sen = cateto oposto ÷ hipotenusa
sen 30º = AB ÷ BC
BC = AB ÷ sen 30º
BC = 90 m ÷ 0,5
BC = 180 m
(Utilizando a função cosseno chegaríamos ao mesmo resultado:
cos = cateto adjacente ÷ hipotenusa
cos 60º = 90 m ÷ BC
BC = 90 m ÷ 0,5
BC = 180 m

Como vimos em [1] que BC = BD,

BD = 180 m

Como a questão pede qual a distância que a pessoa deve andar desde o ponto A, devemos somar à distância BD a distância AB:
AD = AB + BD
AD = 90 m + 180 m
AD = 270 m

R.: A pessoa deve andar a partir de A para B a distância de 270 m para enxergar o prédio sob um ângulo de 30º.