uma pessoa com 1,7m de altura esta em um plano horizontal e caminha na direção perpendicular a um prédio cuja base está situada neste mesmo plano. em certo instante, essa pessoa visualiza o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 30 graus. ao caminhar mais 3 m, visualiza o ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 45 graus. nestas condições, a medida da altura do prédio, em metros, é aproximadamente:a)- 5,6b)- 6,6c)- 7,6d)- 8,6
Soluções para a tarefa
pela tangente temos
tg(30) = h1/(x + 3)
tg(45) = h1/x
h1/x = tg(45) = 1
x = h1
tg(30) = h1/(h1 + 3)
√3/3 = h1/(h1 + 3)
3h1 = √3h1 + 3√3
h1*(3 - √3) = 3√3
h1 = 3√3/(3 - √3)
√3 = 1.7
h1 = 3*1.7/(3 - 1.7) = 5.1/1.3 = 3.9
altura da pessoa h2 = 1.7
altura do predio
H = h1 + h2
H = 3.9 + 1.7 = 5.6 (A)
A medida da altura do prédio, em metros, é aproximadamente:
5,6 m
Pela situação descrita no enunciado, podemos formar dois triângulos retângulos: ABC e ABD.
Como no triângulo retângulo ABD, um dos ângulos mede 45°, o outro também tem esse valor. Logo, é um triângulo isósceles. Logo:
x = h
No triângulo ABC, utilizando a relação tangente, temos:
tg 30° = h
3 + x
√3 = h
3 3 + h
3h = √3·(3 + h)
3h = 3√3 + √3h
3h - √3h = 3√3
h·(3 - √3) = 3√3
h = 3√3
3 - √3
Agora, vamos racionalizar o denominador.
h = 3√3 · (3 + √3)
(3 - √3) (3 + √3)
h = 3√3·3 + 3√3·√3
3² - √3²
h = 9√3 + 3√9
9 - 3
h = 9√3 + 3.3
6
h = 9√3 + 9
6
Considerando √3 = 1,73...
h = 9·1,73 + 9
6
h = 15,57 + 9
6
h = 24,57
6
h = 4,095
Agora, temos que somar a altura da pessoa.
4,095 + 1,7 = 5,795
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