Question

Uma patrulha rodoviária mede o tempo que cada veiculo leva para percorrer um trecho de 400 m da estrada. Um automóvel percorre a primeira metade do trecho com velocidade de 144 km/h. Sendo de 90 km/h a velocidade limite permitida, qual deve ser a maior velocidade média do carro na segunda metade do trecho para evitar ser multado?

Answer 1

A distância percorrida em cada metade do trecho total é

     d = 200 m = 0,200 km


de modo que a distância total é

     2d = 400 m = 0,400 km.


1ª metade do trecho:

•  velocidade média:  Vm₁ = 144 km/h;

•  deslocamento:  d = 0,200 km;

•  tempo de duração do percurso:  Δt₁.


Pela fórmula da velocidade média, para a 1ª metade do trecho, temos
 
                      d
     Vm₁  =  ———
                     Δt₁

                    d
     Δt₁  =  ———
                  Vm₁


Substituindo os valores fornecidos,

                 0,200 km         × 5
     Δt₁  =  ——————
                  144 km/h         × 5

                    1
     Δt₁  =  ———  h    <——   duração da 1ª metade do percurso.
                  720


2ª metade do trecho:

•  velocidade média:  Vm₂ = x  (esta é a medida que desejamos encontrar);

•  deslocamento:  d = 0,200 km;

•  tempo de duração do percurso:  Δt₂.


Novamente, pela fórmula da velocidade média, para a 2ª metade do trecho, temos
 
                      d
     Vm₂  =  ———
                     Δt₂

                    d
     Δt₂  =  ———
                  Vm₂


Substituindo os valores fornecidos,

                  0,200         × 5
     Δt₂  =  ————
                      x             × 5

                    1
     Δt₂  =  ———   <———   duração da 2ª metade do percurso.
                   5x


Trecho total:

•  velocidade média:  Vm ≤ 90 km/h;

•  deslocamento:  2d = 0,400 km;

•  tempo de duração do percurso:  Δt = Δt₁ + Δt₂.


Então, temos que

                    2d
     Vm  =  ———
                    Δt

                        2d
     Vm  =  ——————
                   Δt₁ + Δt₂


Como queremos que esta velocidade seja no máximo  90 km/h,  devemos ter
 
            2d
     ——————  ≤  90
        Δt₁ + Δt₂


Substituindo,

                      0,400
          ——————————  ≤  90
                1              1             
            ———  +  ———
              720          5x


Multiplicando o numerador e o denominador do lado esquerdo por  720x  para simplificar,

            0,400 · 720x
          ————————  ≤  90
                 x + 144

              288x
          —————  ≤  90
            x + 144

              288x
          —————  –  90  ≤  0
            x + 144

            288x – 90 · (x + 144)
          ————————————  ≤  0
                        x + 144

            288x – 90x – 12960
          ————————————  ≤  0
                       x + 144

             198x – 12960
          —————————  ≤  0
                   x + 144

             18 · (11x – 720)
          —————————  ≤  0
                   x + 144

             11x – 720
          ———————  ≤  0    <———    inequação-quociente.
              x + 144


Como  x  é o valor da velocidade média do carro na 2ª metade do trecho, sabemos que este é um valor positivo:

     x > 0   ⇒   x + 144 > 0


de modo que para que o quociente seja menor ou igual que zero, devemos ter

     11x – 720 ≤ 0

     11x ≤ 720

               720
     x  ≤  ———  km/h
                11
 
     x ≤ 65,4 km/h     <———     esta é a resposta.

—————

Outra forma mais direta de resolver o problema seria usando a média harmônica.

A velocidade média no percurso total é a média harmônica das velocidades em cada trecho. Aqui será uma média harmônica simples, pois cada trecho tem o mesmo comprimento:
 
                              2
     Vm  =   ————————    <———    velocidade média no percurso total.
                        1            1
                    ———  +  ——
                      144          x


Então, devemos ter

     Vm ≤ 90 km/h

                  2
     ————————  ≤  90
           1             1
       ———  +  ——
         144          x


Multiplicando o numerador e o denominador do lado esquerdo por  144x  para simplificar,

              288x
          —————  ≤  90
            x + 144

e caímos exatamente na inequação obtida na forma anterior.

     ⋮

     x ≤ 65,4 km/h   <———   novamente, esta é a resposta.


A velocidade média do carro na 2ª metade do trecho deve ser de  65,4 km/h  no máximo.


Bons estudos! :-)