Question

Uma máquina de empacotar café produz pacotes de café com pesos segundo uma distribuição Normal de frequências, com média de 500g e desvio padrão de 3g. a) Num lote de 10.000 pacotes, em quantos você espera encontrar menos de 490g de café? Considere que é possível ajustar a média com que os pacotes são cheios. Qual deve ser o ajuste da média para que 99% dos pacotes não tenham peso inferior a 500g?

Answer 1

Seja X a variável aleatória que representa os pesos dos pacotes de café produzidos pela máquina. Foi dado que X ~ N(500,9).

a) Utilizando da variável normal padrão Z, veja que:

$P(X < 490) = P(Z < \frac{490-500}{3}) \approx P( Z < -3,33) = \Phi(-3,33) = 1-\Phi(3,33) = \\ \\ = 1 - 0,999566 = 0,000434 = 0,0434\%$

Logo, em um pacote de 10.000 pacotes, espera-se encontrar $0,000434 \cdot 10000 = 4,34$ pacotes com menos de 490 g de café.

b) Queremos descobrir a nova média $\mu$ tal que $P(X \geq 500) = 0,99$ . Novamente utilizando da variável normal padrão Z, temos que:

$P(X \geq 500) = 0,99 \Rightarrow P(Z \geq \frac{500-\mu}{3}) = 0,99 \Rightarrow 1-\Phi( \frac{500-\mu}{3}) = 0,99$

Daí:

$\Phi(\frac{500-\mu}{3} )= 0,01$

Sabendo que $\Phi(0) = 0,5 > 0,01$ , então $\frac{500-\mu}{3} < 0$ . Por conseguinte, $\Phi(\frac{500-\mu}{3}) = 1-\Phi(\frac{\mu-500}{3})$. Sendo assim:

$\Phi(\frac{\mu-500}{3}) = 0,99 \Rightarrow \frac{\mu-500}{3} = \Phi^{-1}(0,99) = 2,33 \Leftrightarrow \mu = 3 \cdot 2,33+500 = 506,99 \, g$