Question

Uma função quadrática f, de R em R, tem raízes, nos pontos (-1,0) e (1,0) e assume o valor mínimo –1 se x = 0. Essa função é dada por:

Answer 1

Função quadrática: f(x) = ax² + bx + c
As raízes dessa função são: (-1,1)

Mas diz-se que a função tem valor mínimo, logo a parábola é virada para cima e a > 0.
As coordenadas do valor mínimo é o vértice da parábola. se o x do vértice é zero, conclui-se que b = 0, já que:

x = -b/2a   →  0 = -b/2a    →  b = 0

Sendo assim, o valor mínimo é dado pelo y:
y = -Δ/4a
-1 = -Δ/4a
-Δ = -4a     multiplicando por -1:
Δ = 4a

Sabendo que b = 0, a função quadrática se resume a:
f(x) = ax² + c
O delta dessa função é:
Δ = 0² - 4ac

Mas como Δ = 4a:
4a = 0 -4ac
-c = 4a/4a
-c = 1
c = -1

A função fica agora:
f(x) = ax² - 1
 Se as raízes são 1 e -1, o único valor possível para a é 1, logo, a função é dada por:

f(x) = x² - 1