Question

Como resolver esse exercicio 5?

Answer 1

Primeiro vamos desenvolver a expressao:
E=(cosx-cosy)² + (senx-seny)² --> Desenvolvendo o produto notavel teremos:
E=cos²x-2.cosx.cosy+cos²y + sen²x-2.senx.seny+sen²y --> Organizando:
E=sen²x+cos²x+sen²y+cos²y-2senx.seny-2cosx.cosy --> Substituindo a relacao fundamental por 1:
E=1+1-2senx.seny-2cosx.cosy
E= 2 - 2senx.seny -2cosx.cosy --> Reduzimos o maximo possivel, agora vamos usar a relacao que nos foi dada.
Sabemos que x-y=2pi/3, e que 2pi/3 = 120 graus.
Sabemos tambem que o cos120 = - cos60, logo:
cos(x-y)=cos120
cos(x-y)=-cos60
cos(x-y)=-1/2
Agora que sabemos que o cos(x-y)=-1/2, vamos desenvolver a formula do cosseno da diferenca entre arcos:
cos(x-y)=cosx.cosy+senx.seny
-1/2=cosx.cosy+senx.seny -- > isolando um dos termos:
senx.seny=-1/2 - cosx.cosy --> Tirando o mmc teremos:
2senx.seny=-1 - 2cosx.cosy
Agora que descobrimos o valor de 2senx.seny, podemos subtituir na expressao inicial onde paramos:
E=2-2cosx.cosy-2senx.seny
E=2-2cosx.cosy-(-1-2cosx.cosy)
E=2-2cosx.cosy+1+2cosx.cosy
E=3 + 2cosx.cosy - 2cosx.cosy
E= 3 + 0
E= 3.

Resposta: 3
Caso nao tenha ficado claro, me avise que explico denovo.