Question

Uma folha de papel contem 324 cm ² de área impressa, com margens todas iguais a 2cm. Determine quais devem ser as dimensões da folha para que ocorra o máximo de economia do papel

Answer 1

Sejam x e y as dimensões do retângulo.
A = (x - 4)(y - 4) => (x - 4)(y - 4) = 324 => y - 4 = 324/(x - 4)
y = 4 + 324/(x - 4) => y = 4 + 324(x - 4)⁻1

P(x) = x + y - 4 - 4 (semiperímetro)
P(x) = x + y - 8
P(x) = x + 4 + 324(x-4)⁻1 - 8
P(x) = x + 324(x - 4)⁻1- 4
P'(x) = 1 - 324(x - 4)⁻2
P'(x) = 1 - 324/(x - 4)²
O máximo de economia quando a derivada for nula.
1 - 324/(x - 4)² = 0
(x -4)² - 324 = 0
(x -4)² = 324
x - 4 = √324
x - 4 = 18

x = 22 cm

y - 4 = 324/(22 - 4)
y - 4 = 324/18
y - 4 = 18

y = 22 cm

Logo, o retângulo é um quadrado de lado 22 cm