Question

Uma fazenda improdutiva foi desapropriada para a reforma agrária. Em uma região da fazenda foram assentadas 3 famílias. Exatamente no meio da casa das familias A e B encontra-se um poço, onde diariamente as famílias vão retirar água. A partir de um mesmo sistema de coordenadas cartesianas as casas dessas famílias podem ser representadas pelos pontos A)(9,1) B)-(4,5) C)(5-2) A)qual a distancias entra as casas A e C ? b)qual a distancia que a familia B percorre da sua casa ate o poço ? C)determine a area entre as tres casas ?

Answer 1

Vamos usar vetores e coordenadas cartesianas para resolver.


Letra A
Para encontrar a distância entre as casas A e C, precisamos criar um vetor ligando os 2 pontos e calcular seu módulo. O vetor AC é o ponto C menos o ponto A:
$\overrightarrow {AC} = C-A = (5,-2) - (1,9) \\ \overrightarrow {AC} = (4,-11)$

Seu módulo é dado por:
$|\overrightarrow {AC}| = \sqrt{x^2+y^2} \\ |\overrightarrow {AC}| = \sqrt{4^2+(-11)^2} \\ |\overrightarrow {AC}| = \sqrt{137}$

A distância entre A e C é √137.


Letra B
Tendo os dados das localizações das casas A e B, precisamos encontrar o poço. O enunciado diz que ele está exatamente na metade entre A e B.
$X_{M} = \dfrac{1+(-4)}{2} = -1.5 \\ \\ Y_{M} = \dfrac{9+5}{2} = 7$

O poço está localizado no ponto P(-1.5, 7).

Como fizemos na letra A, vamos achar o vetor BP e calcular seu módulo:
$\overrightarrow {BP} = P-B = (-1.5,7) - (-4,5) \\ \overrightarrow {BP} = (2.5,2) \\ |\overrightarrow {BP}| = \sqrt{2.5^2+2^2} \\ |\overrightarrow {BP}| = \sqrt{10.25}$

A distância entre B e o poço é de √10.25


Letra C
Os três pontos ABC formam um triângulo, sendo AB a medida da base, e o ponto P ligado ao ponto C é altura do triângulo. A área do triângulo é base * altura dividido por 2. Como temos a distância PB, a distancia AB é 2 vezes BP. Calculando o vetor PC e seu módulo:
$\overrightarrow {PC} = C-P = (5,-2) - (-1.5,7) \\ \overrightarrow {PC} = (6.5,-9) \\ |\overrightarrow {PC}| = \sqrt{6.5^2+(-9)^2} \\ |\overrightarrow {PC}| = \sqrt{123.25}$

A área do triângulo é:
$A = \dfrac{|AB|*|PC|}{2}= \dfrac{2|BP|*|PC|}{2} = |BP|*|PC| = \sqrt{10.25} * \sqrt{123.25} \\ \\ A = \sqrt{1263.31} = 35.54$