Question

Uma escada está encostada na parede, com sua base a 10ft de distância. Quando a
escada é puxada 3ft mais distante da parede, a extremidade superior desliza para baixo 7ft.
Qual a altura da escada?
a)10 ft
b)11 ft
c)12 ft
d)13 ft
e)14 ft

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria plana.

Seja uma escada que está encostada na parede, cuja base está a $10~ft.$ de distância. Sabemos que quando a escada é puxada $3~ft.$ mais distante, a extremidade superior desliza $7~ft.$ para baixo. Devemos determinar a altura da escada.

Para isso, considere que a escada tem altura $h$ constante. Ao encostarmos a escada na parede, formamos um triângulo retângulo, cujos catetos são as distâncias entre sua base e a parede e entre sua extremidade superior e o solo.

Chamando estas distâncias, respectivamente, de $x$ e $y$, teremos a seguinte equação, de acordo com o Teorema de Pitágoras:

$h^2=x^2+y^2$

Substituímos $x=10$ na equação.

$h^2=10^2+y^2\\\\\\ h^2=100+y^2$

Subtraímos $100$ em ambos os lados da equação

$h^2-100=y^2$

Se a distância entre sua base e a parede era de $10~ft.$ e ela foi puxada $3~ft.$ mais distante e isso faz com que a escada deslize $7~ft.$ para baixo, teremos suas novas medidas como $13$ e $y-7$.

Assim, temos a equação:

$h^2=13^2+(y-7)^2$

Calcule a potência e expanda o binômio

$h^2=169+y^2-14y+49$

Some os termos semelhantes

$h^2=y^2-14y+218$

Utilizando a equação que encontramos anteriormente, temos:

$h^2=h^2-100-14\cdot\sqrt{h^2-100}+218\\\\\ h^2=h^2-14\sqrt{h^2-100}+118$

Subtraia $h^2-14\sqrt{h^2-100}$ em ambos os lados da equação

$14\sqrt{h^2-100}=118$

Divida ambos os lados da equação por $14$ e simplifique a fração

$\sqrt{h^2-100}=\dfrac{59}{7}$

Eleve ambos os lados da equação à segunda potência

$h^2-100=\dfrac{3481}{49}$

Some $100$ em ambos os lados da equação

$h^2=\dfrac{3481}{49}+100\\\\\\ h^2=\dfrac{3481+4900}{49}\\\\\\ h^2=\dfrac{8381}{49}$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da equação, assumindo a solução positiva

$h=\sqrt{\dfrac{8381}{49}}\\\\\\ h=\dfrac{17\sqrt{29}}{7}\approx13~ft.$

Esta é a altura aproximada da escada e é a resposta contida na letra d).