Question

Uma escada com 25 m está apoiada numa parede vertical. Se o pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se da parede a 3 m/s, qual velocidade com que a escada está deslizando, quando o seu pé está a 15 m da parede?

Answer 1

25^2 = 3^2 + h^2
625 = 9 + h^2
h^2 + 9 = 625
h^2 = 625 - 9
h^2 = 616
h = \/616
h = 24,82

15^2 + (3+x)^2 = 25^2
225 + (3+x)^2 = 625
(3+x)^2 = 625 - 225
(3+x)^2 = 400
(3+x) = \/400
(3+x) = 20
3+x = 20
x = 20 - 3
x = 17

Answer 2

t$\longrightarrow$ tempo decorrido desde que a escada começou a deslizar pela parede em segundos.

y$\longrightarrow$ distância do chão ao topo da escada.

x$\longrightarrow$ distância do pé da escada até a parede

Dados:

$\sf{\dfrac{dx}{dt}=3}$

$\sf{\dfrac{dy}{dt}=?~quando~x=15~m}$

solução:

$\sf{x^2+y^2=25^2\implies y^2=625-x^2}\\\sf{derivando~em~relac_{\!\!,}\tilde{a}o~a~t~temos:}\\\sf{2y\dfrac{dy}{dt}=0-2x\dfrac{dx}{dt}\div(2)}\\\sf{y\dfrac{dy}{dt}=-x\dfrac{dx}{dt}}\\\sf{\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{dx}{dt}}$

$\sf{y^2=625-x^2\Bigg|_{x=15}\implies y^2=625-15^2}\\\sf{y^2=625-225}\\\sf{y^2=400}\\\sf{y=\sqrt{400}}\\\sf{y=20~m}$

$\sf{\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{dx}{dt}}\\\sf{\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{15\div5}{20\div5}\cdot3}\\\sf{\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{3}{4}\cdot3=-\dfrac{9}{4}=-2,25~m/s}$