Question

Uma empresa sustentável projeta uma nova embalagem em formato cilíndrico, fabricada em determinado tipo de papelão de alta resistência e com capacidade para 0,4 litros de líquido.

Se a quantidade de material a ser utilizada com a lateral e as bases deve ser a menor possível, a medida interna do raio da base dessa embalagem, em cm, será

Answer 1

Olá!
 
     O volume do cilindro é dado por   $V=A_{\text{base}}\cdot h.$
 
    Já a área total é   $A_t=2A_{\text{base}}+A_{\text{lateral}},$   com

$A_{\text{lateral}}=2\pi r\cdot h.$
 
    Temos


$A_t=2A_{\text{base}}+A_{\text{lateral}} = 2(\pi r^2)+2\pi r\cdot h = \\ \\ = 2\pi r(h+r).\\ \\ \text{Queremos um volume de 0,4 L, ou seja}:\\ \\ \pi r^2 \cdot h = 0,4\Rightarrow h=\dfrac{0,4}{\pi r^2}.\\ \\ \text{Logo,}\\ \\ A_t=2\pi r\left(\dfrac{0,4}{\pi r^2}+r\right).$
  
    Derivando em relação a r, temos:

$A_t'(r)= \left[2\pi r\left(\dfrac{0,4}{\pi r^2}+r\right)\right]'=\left[\dfrac{0,8}{r}+2\pi r^2\right]'=-\dfrac{0,8}{r^2}+4\pi r\\ \\ \\ \text{Da\'{\i},}\\ \\ A_t'(r)=0\Leftrightarrow -\dfrac{0,8}{r^2}+4\pi r=0\Leftrightarrow 4\pi r^3-0,8=0\Leftrightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{0,8}{4\pi}}\Leftrightarrow\\ \\ \\ \Leftrightarrow r=0,4$
  
    Agora, note que 

$A_t''(r)=\left[-\dfrac{0,8}{r^2}+4\pi r\right]' = \dfrac{1,6}{r^3}+4\pi\Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow A_t''(0,4) = \dfrac{1,6}{(0,4)^3}+4\cdot 3,14 = 37,56 \ \textgreater \ 0.$

Ou seja, pelo teste da segunda derivada, temos que o ponto r = 0,4 encontrado é de mínimo.
 
   
    Portanto, a medida do raio da base deve ser r = 0,4 cm.




Bons estudos!