Question

Uma construtora, com o objetivo de valorizar as áreas verdes, apresentou um projeto de loteamento, com terrenos retangulares, onde cada residência construída terá um jardim ao seu redor. Em cada terreno deverão ser reservados 3 m na frente, 3 m no fundo e 2 m em cada lateral para jardinagem, conforme ilustra a figura acima.

Considerando-se que a área disponível para construção será de 600 m^2, a área mínima do terreno que atende às especificações exigidas pela construtora será de quantos m^2?

Answer 1

Sejam  x, y  as dimensões da área disponível para construção (em metros). Sem perda de generalidade, assuma que

     •  x  é o comprimento da frente e do fundo da área disponível para construção;

     •  y  é o comprimento de cada lateral da área disponível para construção.


Como a área disponível para construção é  600 m²,  devemos ter

      $xy=600\quad\Longrightarrow\quad y=\dfrac{600}{x}\qquad\mathbf{(i)}$


Já as dimensões do terreno são

     •  frente e fundo (cada):  $2+x+2=x+4;$

     •  cada lateral:  $3+y+3=y+6=\dfrac{600}{x}+6.$


A área total do terreno é dada por

     $A(x)=(x+4)\cdot \left(\dfrac{600}{x}+6\right)\\\\\\ A(x)=(x+4)\cdot \dfrac{600+6x}{x}\\\\\\ A(x)=\dfrac{(x+4)\cdot (100+x)\cdot 6}{x}\\\\\\ A(x)=\dfrac{[(x+4)\cdot 100+(x+4)\cdot x]\cdot 6}{x}\\\\\\ A(x)=\dfrac{[100x+400+x^2+4x]\cdot 6}{x}$

     $A(x)=\dfrac{6\cdot (x^2+104x+400)}{x}\\\\\\ A(x)=6\cdot \left(\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{104x}{x}+\dfrac{400}{x}\right)\\\\\\ A(x)=6\cdot (x+104+400x^{-1})$

Esta é a função que queremos minimizar.

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     •  Encontrando os pontos críticos da função:

A função  A(x)  é derivável em todo o seu domínio, pois é em essência uma função racional.

Logo, os pontos críticos são somente aqueles nos quais a derivada se anula:

     $A'(x)=6\cdot (x+104+400x^{-1})'\\\\ A'(x)=6\cdot (1+0+(-1)\cdot 400x^{-1-1})\\\\ A'(x)=6\cdot (1-400x^{-2})\\\\ A'(x)=6\cdot \left(1-\dfrac{400}{x^2}\right)\\\\\\\ A'(x)=6\cdot \left(\dfrac{x^2-400}{x^2}\right)\\\\\\ A'(x)=\dfrac{6\cdot (x^2-400)}{x^2}$


Para encontrar os pontos críticos, resolvemos a equação seguinte:

     $A'(x)=0\\\\ \dfrac{6\cdot (x^2-400)}{x^2}=0\\\\\\ x^2-400=0\\\\ x^2=400\\\\ x=\pm\,\sqrt{400}\\\\ x=\pm\,20$


Como  x  é positivo (pois é uma medida de comprimento),  desprezamos o valor negativo, e obtemos:

     $x=20\quad\longleftarrow\quad\mathsf{ponto~cr\acute{i}tico.}$

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Analisemos o sinal da derivada de  A(x)  em torno de  x = 20:

     $A'(x)=\dfrac{6\cdot (x^2-400)}{x^2}\\\\\\ A'(x)=\dfrac{6}{x^2}\cdot (x^2-400)$


O sinal de  A'(x)  é o mesmo sinal do fator quadrático  x² - 400,  pois o outro fator nunca é negativo para  x > 0.

     A'(x) < 0,  quando  0 < x < 20;

     A'(x) > 0,  quando  x > 20.


O sinal da derivada de  A(x)  mudou ao passar por  x = 20.  Isto significa que

     A(x)  é  decrescente  para  0 < x < 20;

     A(x)  é  crescente  para  x > 20.


Logo,  x = 20  é um ponto de mínimo local; e é o único que satisfaz os problemas para as condições dadas.

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Então, a área mínima do terreno que atende às especificações exigidas pela construtora é

     $A_{\mathrm{m\acute{i}n.}}=A(x)\Big|_{x=20}\\\\\\ A_{\mathrm{m\acute{i}n.}}=6\cdot (20+104+400\cdot 20^{-1})\\\\\\ A_{\mathrm{m\acute{i}n.}}=6\cdot \left(124+\dfrac{400}{20}\right)\\\\\\ A_{\mathrm{m\acute{i}n.}}=6\cdot (124+20)\\\\ A_{\mathrm{m\acute{i}n.}}=6\cdot 144$

     $\boxed{\begin{array}{c}A_{\mathrm{m\acute{i}n.}}=864\mathrm{~m^2} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

letra a 264

Explicação passo-a-passo: