Question

Uma consideração importante no estudo da transferência de calor é a de se determinar a distribuição de temperatura assintótica de uma placa fina quando a temperatura em seu bordo é conhecida. Suponha que a placa na Figura represente uma seção transversal de urna barra de metal, com fluxo de calor desprezível na direção perpendicular a. placa. Sejam T1, T2 e T3 as temperaturas em três vértices interiores do reticulado da Figura. A temperatura num vértice é aproximadamente igual a média dos quatro vértices vizinhos mais próximos — a esquerda, acima,à direita, e abaixo.
Escrevendo um sistema de três equações cuja solução fornece estimativas para as temperaturas T1, T2 e T3 , obtemos o sistema escalonado abaixo, relativo à placa da figura a seguir:

Answer 1

$T_1=18,55556$

Neste exercício, o sistema original já foi escalonado e resta apenas determinar as variaveis.

Começamos então escrevendo o sistema:

$\begin{Bmatrix}T_1&-4T_2&+T_3&=-50\\&15T_2&-4T_3&=250\\&&3T_3&=85\end{matrix}$

Para obter o valor de $T_1$, a única coisa necessária a se fazer é obter os valores de $T_3$ e $T_2$, pois, como podemos ver, o sistema já está escalonado.

deste sistema, encontramos que

$T_3=\dfrac{85}{3}=28,33333$ (ao isolar $T_3$)

em seguida, com o valor de $T_3$, encontramos o valor de $T_2$:

$T_2=\dfrac{1}{15}\cdot(250+\dfrac{4\cdot85}{3})=24,22222$

e por fim o valor de $T_1$

$T_1=-50+4\cdot\dfrac{1}{15}\cdot(250+\dfrac{4\cdot85}{3})-T_3=\dfrac{85}{3}=18,55556$

portanto $T_1=18,55556$