Question

Uma circunferencia de raio=3 e centro no primeiro quadrante tangente a reta de equacao y=-2x + 2 no ponto de abscissa x=1.
Determina a equacao da circunferencia.

Answer 1

Olá!

•    A reta tangente passa pelo ponto de abscissa 1. Podemos descobrir qual é a ordenada desse ponto

     $\mathsf{y=-2x+2}$

     $\mathsf{y=-2\cdot 1+2}$

     $\mathsf{y=-2+2}$

     $\mathsf{y=0}$


Como dito no exercício, a reta y é tangente ao ponto P (1,0), logo, podemos afirmar que existe uma outra reta perpendicular a y que passa pelo centro da circunferência e também por P.

•    Encontrando a equação da reta perpendicular a reta tangente:

     $\mathsf{y-y_{0}=m_{2}\cdot (x-x_{0})}$

     $\mathsf{y-0=m_{2}\cdot (x-1)}$

     $\mathsf{y=m_{2}\cdot x-m_{2}}$


Agora basta sabermos o valor do coeficiente angular m da reta, aquele número multiplica x na equação. Para retas perpendiculares o coeficiente angular de uma é o inverso oposto da outra. Neste caso, m¹ vale −2

     $\mathsf{m_{1}=-\dfrac{1}{m_{2}}}$

   $\mathsf{-2=-\dfrac{1}{m_{2}}\qquad \times(-1)}$

     $\mathsf{2=\dfrac{1}{m_{2}}}$

     $\mathsf{m_{2}=\dfrac{1}{2}}$


Então a equação da reta perpendicular a reta tangente fica:

     $\mathsf{y=\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2}}$


Sabemos que o coeficiente de inclinação da reta representa também a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo das abscissas, lembrando que o ângulo é medido sempre no sentido anti-horário

     $\mathsf{m=\dfrac{1}{2}}$

     $\mathsf{tg\ \theta=\dfrac{1}{2}}$

     $\mathsf{\dfrac{co}{ca}=\dfrac{1}{2}}$

     $\mathsf{ca=2\cdot co}$


Agora vamos chamar co de p e vamos descobrir os lados do triângulo pelo Teorema de Pitágoras

     $\mathsf{3^{2}=p^{2}+(2p)^{2}}$

     $\mathsf{9=p^{2}+4p^{2}}$

     $\mathsf{9=5p^{2}}$

     $\mathsf{p^{2}=\dfrac{9}{5}}$

     $\mathsf{p=+ \sqrt{\dfrac{9}{5}}\qquad\qquad \star\textsf{o centro est\'a no primeiro quadrante}}$

     $\mathsf{p=\dfrac{3}{\sqrt{5}}}$

     $\mathsf{p=\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}}$


Com isso, podemos afirmar que:

     $\mathsf{\star \qquad co=\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}}$

     $\mathsf{\star \qquad ca=2\cdot \dfrac{3 \sqrt{5}}{5}=\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}}$


Agora, para obter o centro da circunferência vamos adicionar as medidas dos lados às coordenadas do ponto P(1,0)

•     Abscissa do centro

     $\mathsf{x_{c}=1+ca}$

     $\mathsf{x_{c}=1+\dfrac{6 \sqrt{5}}{5}}$

     $\mathsf{x_{c}=\dfrac{5+6 \sqrt{5}}{5}}$


•     Ordenada do centro

     $\mathsf{y_{c}=\dfrac{3 \sqrt{5}}{5}}$


Sabendo as coordenadas do centro e o raio, obtemos a equação da circunferência

     $\mathsf{(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r^{2}}$

     $\mathsf{\left(x-\dfrac{5+6 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(y- \dfrac{3 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}=3^{2}}$

 $\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\left(x-\dfrac{5+6 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(y- \dfrac{3 \sqrt{5}}{5}\right)^{2}=9}\end{array}}$


Obs: Essa é a equação reduzida, para obter a geral basta desenvolver os quadrados


Bons estudos! =)

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo: