Question

Uma caixa fechada com base quadrada vai ter um volume de 2000 cm³. O material da tampa e da base vai custar R$ 0,30 por centímetro quadrado e o material para os lados R$ 0,15 por centímetro quadrado. Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo seja mínimo

Answer 1

Dados:
  V = 2 000 cm³
  
Material da tampa e da base quadrada = 0,30 por cm²
Material para os lados = 0,15 por cm²

 Na geometria espacial, vemos que temos a base quadrada, logo, não nos diz muita coisa, quando disse lados, significa que é um cilindro quadrado, ou seja, base quadrada.
 
 Cilindro:
 - Área da tampa e da base ou Área da base = Mesma coisa, pois são de mesmo tamanho. Como a base é quadrada, ou seja, Área do quadrado:
                                   Aquadrado = Abase = L.L = L²
 
  Mas cada cm² equivale a 0,30 centavos, ou seja:
                                                Ab = 0,3. L²
 
Obs: Quando disse 0,30 da tampa e da base, quer dizer que  Atampa + Abase = 2.Ab 

- Área lateral representado pelo cilindro, deve se saber qual é a geometria plana da base. Se é quadrado, tem 4 lados. Logo, como é cilindro de base quadrada, teremos uma altura e uma largura, portanto:
                                    Al = 4 lados . A retângulo 
                                    Al = 4. Ar
                                    Al = 4.L.H 
                                   

  Mas cada cm² equivale a 0,15 centavos, ou seja:                                                                             Al = 0,15. 4.L.H
                                    Al = 0,6.L.H
              
 - Volume do Cilindro:
       V = A quadrada. H
       V = Abase. H 
2 000 = L².H
        H = 2 000 / L²                            Eq.1)
 
 Depois de aplicado os dados, queremos saber o custo total, logo, será a soma das áreas totais:
                Custo total = A total = Alateral + 2.Abase 
                Custo total = A total = 0,6.L.H + 0,6.L²                 Eq. 2)
                        

             Substituir equação 1 na 2, temos:
                         A total = 0,6.L. 2 000 + 0,6.L²
                                                 L²
                         A total = 0,6.L. 2 000 . (L^-2) + 0,6.L²
                         A total = 0,6.(L¹.L^-2). 2 000 + 0,6.L²  ---> Multiplicação
                         A total = 0,6. (L^-1) . 2 000 + 0,6.L²         de expoente soma 
                         A total =1 200. (L^-1) + 0,6.L²                                                                                      
                  Aplicando a Derivada, temos:
                              At' = 1 200 ( L^-1) + 0,6 (L²)
                              
Por termos:
 d(x) = n.x^(n - 1)                                        d(x) =  n.x^(n-1)
 dAt = 1 200 . L^-1                                       dAt = 0,6. [2.L^(2-1) 
dAt = 1 200 . L ^( -1 - 1)                             dAt = 0,6.[2.L]
 dAt' = 1 200 . -1.  L^(-2)                               dAt' = 1,2.L
          
Juntando os termos, onde At está em função do Lado, isto é At(L), temos:
                      At(L) = -1. 1 200. (L^-2) + 1,2.L
                             
         Para At(L) = 0, temos:
                      1 200 = 1,2.L
                          L² 
                         1,2 L³ = 1 200  
                                L³ = 1 000
                               L = 9,998 ≈ 10 cm

Encontrar H altura:
      H = 2 000/ L²
      H = 2 000/ 10²
      H = 20 cm
               
     Logo interprete, a base quadrada L(1) = L(2) = 10 cm e H = 20 cm
              Portanto as dimensões são  10 x 10 x 20 cm, de menor custo