Question

Uma bola é lançada de uma altura de 30 m com uma velocidade inicial de 5 m/s segundo uma direcção que faz 45° com a horizontal. Calcule a altura máxima em relação ao ponto de lançamento, o tempo de voo (até cair) a partir do ponto de altura máxima e o seu alcance.

Answer 1

Boa noite.

$Calculando\ a\ altura\ m\'axima\ em rela\c{c}\~ao\ ao\ ponto\ de \\ lan\c{c}mento\ temos: v^{2}_{y}=v^{2}_{oy}-2g\Delta y \\ \\ Na\ altura\ m\'axima\ a\ velocidade\ \'e\ nula,\ logo: \\ 0 = (v\cdot sen\ 45^{o})^{2} -2g\Delta y \\ \\ \Delta y = \dfrac{(v\cdot sen\ 45^{o})^{2}}{2g} \\ \\ \Delta y = \dfrac{(5\cdot \frac{\sqrt{2} }{2})^{2}}{2\cdot 10} \\ \\ \boxed{\Delta y = 0,625m}$

Calculando o tempo de queda, podemo dividir em duas partes e depois soma-las no final, isto é, calcular o tempo que ele passa "voando" até retornar a mesma linda do ponto de lançamento e em seguida calcular o tempo de queda do ponto de lançamento até o chão, ou seja:

$Primeira\ parte: \\ v_{y}=v_{oy}-gt \\ 0 = v\cdot sen\ 45^{o} - gt \\ \\ t_{s} = \dfrac{v\cdot sen\ 45^{o}}{g} \\ \\ t_{s} = \dfrac{(5\cdot \frac{\sqrt{2} }{2})}{ 10} \\ \\ \boxed{t_{s} \approx 0,35 s} \\ \\ como\ calculamos\ o\ tempo\ de\ subida,\ o\ tempo\ de\ descida\ \'e\ igual: \\ \boxed{t \approx 0,71s} \\ \\ Segunda\ parte: \\ Calculando\ a\ velocidade\ instante\ antes\ de\ tocar\ o\ solo\ \'e\ dado\ por: \\ v^{2}_{y}=v^{2}_{oy}-2g\Delta y \\ v^{2}_{y}=(5\cdot sen\ 45^{o})^{2}-2\cdot10 \cdot 30$

$v_{y} = \sqrt{(5\cdot sen\ 45^{o})^{2}+600} \\ \boxed{v_{y} \approx 24,75s } \\ \\ Logo: \\ v_{y}=v_{oy}+gt \\ \\ t_{2} = \dfrac{v_{y}-v_{oy}}{g} \\ t_{2} = \dfrac{24,75 - 3,54}{10} \\ \\ \boxed{t_{2} \approx 2,22 s} \\ \\ Assim,\ o\ tempo\ total\ \'e : \\ \boxed{\boxed{t \approx 2,93 s}}$

Calculando o alcance temos, basta colocar os valores na equação do movimento uniforme e acharemos o resultado, ou seja.

$x=x_{o}+v_{x}t \\ x = 0+v\cdot cos\ 45^{o} \cdot t\\ x = 5\cdot cos\ 45^{o} \cdot 2,93 \\ \\ \boxed{\boxed{x \approx 10,36m}}$


Bons estudos =D