Question

Uma Bola é lançada ao ar. Suponha que sua altora h, em metros, t segundos apos o lançamento seja h= -t2 + 4t +6. O instante em que a bola atinge a sua altora máxima e a sua altura máxima atingida sera de:

a) Instante = 1,5 segundos e Altura = 9,5 m
b) Instante = 3 segundos e Altura = 15 m
c) Instante = 2 segundos e Altura = 10 m
d) Instante = 5 segundos e Altura = 25 m

Answer 1

$h= t^{2} +4t+6$

Δ=b²-4ac ⇒ Δ=4²-4·(-1)·6=16+24=40

Yv=-Δ/4a ⇒ Yv=-40/4·(-1) = -40/-4 = 10

Numa função do segundo grau quando o 'a' é negativo, ela apresenta concavidade voltada para baixo. Logo, a função dada apresenta um vértice com ponto máximo (altura máxima) de coordenadas (Xv, Yv) ou seja (-b/2a , -Δ/4a) 

Agora que a gente descobriu que a altura máxima é 10m, basta substituir na equação e encontrar o tempo:
Substituindo h=10 ⇒
h=-t²+4t+6
10=-t²+4t+6
-t²+4t-4=0
Δ=4²-4·(-1)·(-4)=16-16=0

Achando as raízes da equação:
t'=(-b+√Δ)/2a ⇒ t'=-4+0/-2 =2
t''=(-b-√Δ)/2a ⇒ t''=-4-0/-2 =2

Logo o tempo é igual a 2 segundos, e a altura máxima é 10m. Alternativa c)

Ou você também pode fazer dessa forma:
Lembre que a velocidade é a derivada da posição, logo, a derivada de h=-t²+4t+6 é h'=-2t+4, ou seja, v=-2t+4

Sabemos que no ponto de altura máxima a velocidade é igual a zero, logo:
0=-2t+4 ⇒ -2t=-4 ⇒ t=2  *encontramos o tempo igual a 2s*

Com o tempo, basta substituir na equação da posição, e encontramos a mesma.
Substituindo t=2 em h=-t²+4t+6
h=-(2)²+4·2+6 ⇒h=-4+8+6 = 10 *encontramos a altura igual a 10m*