Question

Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P, conforme a figura ao lado. A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento — PR, e o ângulo agudo formado por — PR e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento — PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ.

Answer 1

$N \ = \ ponto \ de \ reflex\~ao.$

$boxed{PQ \ = \ QR \ = \ \frac{PR}{2}}$

$\frac{NQ}{sen(60^\circ)} \ = \ \frac{QR}{sen(\alpha)} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{NQ \ = \ \frac{QR \ \cdot \ sen(60^\circ)}{sen(\alpha)}}$

$\psi \ = \ \^angulo \ P\widehat{N}Q. \ \psi \ + \ 2  \ \cdot \alpha \ = \ raso. \\ \\ \psi \ + \ 2 \ \cdot \ \alpha \ = \ 180^\circ \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\psi \ = \ 180^\circ \ - \ 2 \ \cdot \ \alpha}$

$cos(\theta \ \bold{-} \ \sigma) \ = \ cos(\theta) \ \cdot \ cos(\sigma) \ \bold{+} \ sen(\theta) \ \cdot \ sen(\sigma)$

$sen(180^\circ) \ = \ 0 \ e \ cos(180^\circ) \ = \ -1\\ \\ cos(\psi) \ = \ cos(180^\circ) \ \cdot \ cos(2 \ \cdot \ \alpha) \ + \ sen(180^\circ) \ \cdot \ sen(2 \ \cdot \ \alpha) \ \rightarrow \\\\ \\ cos(\psi) \ = \ -1 \ \cdot \ cos(2 \ \cdot \ \alpha) \ + \ 0 \ \cdot \ sen(2 \ \cdot \ \alpha) \ \rightarrow \\ \\ cos(\psi) \ = \ - cos(\underbrace{2 \ \cdot \ \alpha}_{arco \ duplo}) \ \rightarrow$

$\boxedsen(2 \ \cdot \ \tau) \ = \ 2 \ \cdot \ sen(\tau) \ \cdot \ cos(\tau); \\ \\ cos(2 \ \cdot \ \tau) \ = \ 1 \ - \ 2 \ \cdot \ sen^2(\tau)$

$cos(\psi) \ = \ - \ (1 \ - \ 2 \cdot \ sen^2(\alpha)) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{cos(\psi) \ = \ 2 \ \cdot \ sen^2(\alpha) \ - \ 1}$

 $\varepsilon \ = \ \^angulo \ P\widehat{N}R. \\ \\ \varepsilon \ + \ \alpha \ = \ raso. \\ \\ \varepsilon \ + \ \alpha \ = \ 180^\circ \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\varepsilon \ = \ 180^\circ \ - \ \alpha}$

$boxed{sen(\theta \ \bold{-} \ \sigma) \ = \ sen(\theta) \ \cdot \ cos(\sigma) \ \bold{-} \ cos(\theta) \ \cdot \ sen(\sigma)}$

$sen(\varepsilon) \ = \ sen(180^\circ) \ \cdot \ cos(\alpha) \ - \ cos(180^\circ) \ \cdot \ sen(\alpha) \ \rightarrow \\ \\ sen(\varepsilon) \ = \ 0 \ \cdot \ cos(\alpha) \ - \ -1 \ \cdot \ sen(\alpha) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{sen(\varepsilon) \ = \ sen(\alpha)}$

$\frac{NP}{sen(60^\circ)} \ = \ \frac{PR}{sen(\varepsilon)} \ \rightarrow \ (sen(\varepsilon) \ = \ sen(\alpha)) \ e \ PR \ = \ 2 \ \cdot \ PQ \dots \\ \\ \boxed{NP \ = \ \frac{2 \ \cdot \ QR \ \cdot \ sen(60^\circ)}{sen(\alpha)}}$

$PQ^2 \ = \ NQ^2 \ + \ PN^2 \ - \ 2 \ \cdot \ NQ \ \cdot \ PN \ \cdot \ cos(\psi) \ \rightarrow \\ \\ PQ^2 = \Big(\frac{QR \cdot sen(60^\circ)}{sen(\alpha)}\Big)^2 + \Big(\frac{2 \cdot PQ \cdot sen(60^\circ)}{sen(\alpha)}\Big)^2 - \frac{2 \cdot \ QR \cdot 2\cdot PQ \cdot sen(60^\circ)^2 \cdot cos(\psi) }{sen^2(\alpha)}$

$\not{PQ^2} \ = \ \frac{\not{PQ}^2 \ \cdot \ sen^2(60^\circ) \ + \ 4 \ \cdot \ \not{PQ}^2 \ \cdot \ sen^2(60^\circ) \ - \ \not{PQ}^2 \ \cdot \ sen^2(60^\circ) \ \cdot \ 4 \cdot \ cos(\psi)}{sen^2(\alpha)} \ \\ \\ \\ sen^2(\alpha) \ = \ sen^2(60^\circ) \ \cdot \ (5 \ - \ 4 \cdot \ cos(\psi)) \ \rightarrow \\ \\ \Rightarrow \ sen(60^\circ) \ = \ \frac{\sqrt{3}}{2} \ \rightarrow$

$sen^2(\alpha) \ = \ \Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2 \ \cdot \ (5 \ - \ 8 \ \cdot \ sen^2(\alpha) \ + \ 4) \ \rightarrow \\ \\ sen^2(\alpha) \ = \frac{3 \ \cdot \ \ (9 \ - \ 8 \ \cdot \ sen^2(\alpha))}{4} \ \rightarrow \\ \\ 4 \cdot \ sen^2(\alpha) \ = \ 27 \ - \ 24 \ \cdot \ sen^2(\alpha) \ \rightarrow \\ \\ 28 \ \cdot \ sen^2(\alpha) \ = \ 27 \ \rightarrow$

$sen(\alpha) \ = \sqrt{\frac{27}{28}} \ \rightarrow \\ \\ sen(\alpha) \ = \ \frac{3 \ \sqrt{3}}{2 \ \cdot \ \sqrt{7}} \ \rightarrow \  \\ \\ \boxed{sen(\alpha) \ = \ \frac{+ \ 3 \ \cdot \ \sqrt{21}}{14}}$

$Pela \ Identidade \ \Rightarrow \\ \\ \boxed{cos(\alpha) \ = \ \frac{+ \ \sqrt{7}}{14}}$

$tg(\alpha) \ = \ \frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)} \ \Rightarrow \\ \\ tg(\alpha) \ = \ \frac{\frac{3 \ \cdot \ \sqrt{21}}{\not{14}}}{\frac{\sqrt{7}}{\not{14}}} \ \rightarrow \\ \\ tg(\alpha) \ = \ \frac{3 \ \cdot \ \sqrt{3} \ \cdot \ \not{\sqrt{7}}}{\not{\sqrt{7}}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{tg(\alpha) \ = \ 3 \ \cdot \ \sqrt{3}}}$

$sen(2 \ \cdot \ \alpha) \ = \ 2 \ \cdot \ sen(\alpha) \ \cdot \ cos(\alpha) \ \rightarrow \\ \\  \psi \ + \ 2 \ \cdot \ sen(2 \ \cdot \ \alpha) \ = \ 180^\circ \ \rightarrow \\ \\ \boxed{sen(\psi) \ = \ - \ 2 \ \cdot \ sen(\alpha) \ \cdot \ cos(\alpha)}$

$\beta \ = \ \^angulo \ P\widehat{Q}N \ \rightarrow \\ \\ \ \frac{PN}{sen(\beta)} \ = \ \frac{PQ}{sen(\psi)} \ \rightarrow \\ \\ \frac{\frac{2 \ \cdot \ QR \ \cdot \ sen(60^\circ)}{sen(\alpha)}}{sen(\beta)} \ = \ \frac{PQ}{sen(\psi)} \ \rightarrow \\ \\ \frac{2 \ \cdot \ \not{QR} \ \cdot \ sen(60^\circ) \ \cdot \ - \ \not{sen(\alpha)} \ \cdot \ cos(\alpha) \ \cdot \ 2}{\not{PQ} \ \cdot \ \not{sen(\alpha)}} \ = \ sen(\beta) \ \rightarrow$

$sen(\beta) \ = \ \frac{-\not{2} \ \cdot \ 2 \ \cdot \ \sqrt{3} \ \cdot \ \sqrt{7}}{\not{2} \ \cdot \ 14} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{sen(\beta) \ = \ \frac{-\sqrt{21}}{7}}\\ \\ \ \Theta \ + \ \beta \ = \ 180^\circ \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{sen(\Theta) \ = \ \frac{\sqrt{21}}{7}}}$