Question

Considere o triângulo equilátero ΔA0OB0 de lado 7cm.

a) Sendo A1 o ponto médio do segmento A0B0, e B1 o ponto simétrico de A1 em relação à reta determinada por O e B0, determine o comprimento de OB1.
b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo ΔA1OB1, pode-se obter o triângulo ΔA2OB2 tal que A2 é o ponto médio do segmento A1B1, e B2 o ponto simétrico de A2 em relação à reta determinada por O e B1. Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém-se o triângulo ΔA3OB3. Assim, sucessivamente, pode-se construir uma sequência de triângulos ΔAnOBn tais que, para todo n ≥ 1, An é o ponto médio de AnBn1, e Bn, o ponto simétrico de An em relação à reta determinada por O e Bn1, conforme figura a seguir.

Denotando por an, para n ≥ 1, o comprimento do segmento An1An, verifique que a1, a2, a3, … é uma progressão geométrica. Determine sua razão.

c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal A0A1A2 ….An, n ≥ 1.

Answer 1

$H_{(\triangle eq)} \ = \ \frac{l_{(\triangle eq) \ \cdot \ \sqrt{3}}}{2}$

$H_{(\triangle eq)} \ \rightarrow \ Altura \ de \ um \ \triangle \ equil\'tero \ de \ lado \ l_{(\triangle eq)}.$

$Propriedade \ da \ PG \ \Rightarrow \\ \\ \boxed{a_n^2 \ = \ a_{n - 1} \ \cdot \ a_{n + 1}}$

$q \ = \ \frac{a_n}{a_{n - 1}} \ \rightarrow \\ \\ q \ \rightarrow \ Raz\~ao \ da \ PG; \\ \\ a_n \ e \ a_{n - 1} \ \rightarrow \ Termos \ consecutivos \ dessa \ PG.$

$S_{(n)} \ = \ \frac{a_1 \ \cdot \ (q^n \ - \ 1)}{q \ - \ 1} \ \rightarrow \\ \\ S_{(n)} \ \rightarrow \ Soma \ da \ PG \ finita \ de \ a_1 \ (primeiro \ termo) \ a \ a_n, \\ sendo \ q \ a \ raz\~ao \ multiplicativa.$

$Observe \ o \ anexo \ com \ os \ 7 \ primeiros \ \triangle \ desenhados.$

$\bold{a)} \ Podemos \ tirar \ uma \ conclus\~ao \ \'util \ daqui. \\ \\ Sendo \ \triangle OA_0B_0 \ equil\'atero \ de \ lado \ l_{(OA_0B_0)} \ = \ 7 \ cm, \ e \ sendo \\ A_1 \ o \ ponto \ m\'edio \ de \ A_0B_0 \ e \ B_1 \ sim\'etrico \ de \ A_1 \ : \\ \\ \longrightarrow \ OA_1 \ \'e \ a \ altura \ de \ \triangle OA_0B_0 \ (\triangle eq, \ alturas \ fincam-se \ nos \\ pontos \ m\'edios), \ al\'em \ de \ ser \ bissetriz;$

$\longrightarrow \ \triangle OA_1B_1 \ tamb\'em \'e \ equil\'atero, \ s\'o \ que \ de \ lado \ igual \'a \ altura \ de \\ \triangle OA_0B_0; \\ \\ \longrightarrow \ Logo, \ os \ tri\^angulos \ v\~ao \ se \ rotacionando \ de \ 30^\circ \ em \ 30^\circ. \\ \\ \bold{Ou \ seja, \ temos \ um \ padr\~ao \ de \ \triangle \ equil\'ateros \ que \ se \ rotacionam} \\ \bold{em \ O \ de \ 30^\circ \ em \ 30^\circ \ e \ t\^em \ os \ seus \ lados \ iguais \ \`as \ alturas} \\ \bold{dos \ anteriores.}$

$\boxed{Ou \ seja, \ l_{(\triangle OA_nB_n)} \ = \ H_{(\triangle \ OA_{n-1}B_{n-1})}}$

$A \ partir \ disso, \ l_{(\triangle OA_1B_1)} \ = \ H_{(\triangle \ OA_{0}B_{0})} \ \rightarrow \\ \\ l_{(\triangle OA_1B_1)} \ = \ \frac{l_{(\triangle \ OA_{0}B_{0})} \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \\ \\ l_{(\triangle OA_1B_1)} \ = \ \frac{7 \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{OA_1 \ = \ OB_1 \ = \ A_1B_1 \ = \ \frac{7 \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ cm}}$

$\bold{b)} \ Acredito \ que \ houve \ descuido \ ao \ digitar \ o \ enunciado. \\ \\ O \ condizente \ ao \ proposto \ seria \ que \ pode-se \ construir \ \triangle \\ partindo \ de \ um \ segmento \ A_{n-1}B_{n-1}. \ Vou \ partir \ desse \\ pressuposto.$

$Antes, \ calculemos \ l_{(\triangle OA_2B_2)} : \\ \\ l_{(\triangle OA_2B_2)} \ = \ \frac{l_{(\triangle OA_1B_1)} \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \\ \\ l_{(\triangle OA_2B_2)} \ = \ \frac{\frac{7 \ \sqrt{3}}{2} \ \cdot \ \sqrt{3}}{2} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{l_{(\triangle OA_2B_2)} \ = \ \frac{21}{4} \ cm}$

$\boxed{\longrightarrow \ a_n \ = \ A_{n-1}A_n} \ \Rightarrow \\ \\ a_1 \ = \ A_0A_1 \ \Rightarrow \ Ponto \ m\'edio \ de \ l_{\triangle{(OA_0B_0)}} \ = \ \boxed{\frac{7}{2} \ cm}$

$a_2 \ = \ A_1A_2 \ \Rightarrow \ Ponto \ m\'edio \ de \ l_{\triangle{(OA_1B_1)}} \ = \ \boxed{\frac{7 \ \cdot \sqrt{3}}{4} \ cm} \\ \\ a_3 \ = \ A_2A_3 \ \Rightarrow \ Ponto \ m\'edio \ de \ l_{\triangle{(OA_2B_2)}} \ = \ \boxed{\frac{21}{8} \ cm}$

$Para \ verificar \ a \ PG, \ aplicamos \ a \ propriedade \ : \\ \\ a_2^2 \ = \ a_1 \ \cdot \ a_3 \ \rightarrow \\ \\ \Big(\frac{7 \ \cdot \sqrt{3}}{4}\Big)^2 \ = \ \frac{7}{2} \ \cdot \ \frac{21}{8} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\frac{147}{16} \ = \ \frac{147}{16} \ \checkmark}$

$A \ raz\~ao \ pode \ ser \ obtida \ por \ : \\ \\ q \ = \ \frac{a_2}{a_1} \ \rightarrow \\ \\ q \ = \ \frac{\frac{7 \ \cdot \sqrt{3}}{4}}{\frac{7}{2}} \ \rightarrow \ Invertendo \ : \\ \\ q \ = \ \frac{\not{7} \ \cdot \ \sqrt{3}}{4} \ \cdot \ \frac{2}{\not{7}} \ \righatrrow \\ \\ \boxed{\boxed{q \ = \ \frac{\sqrt{3}}{2}}} \ \Rightarrow \ Raz\~ao \ da \ dita \ PG!$

$\bold{c)} \ No \ desenho, \ a \ dita \ linha \ poligonal \ \'e \ a \ marrom. \\ \\ Veja \ que \ vamos \ simplesmente \ somando \ os \ pontos \ m\'edios \ dos \ \triangle \\ formados \ (lembre-se \ de \ que, por \ exemplo, A_0A_1, \ A_1A_2, \ A_2A_3, etc) \\ s\~ao \ pontos \ m\'edios). \\ \\ Logo, \ simplesmente \ estamos \ somando \ a_1 \ + \ a_2 \ + \ a_3 \ + \ \dots \ + \ a_n \\ (n \ \in \ \mathbb{N}) .$

$Temos \ ent\~ao \ a \ soma \ de \ uma \ PG \ que \ tem \ a_1 \ como \ primeiro \\ termo \ e \ q \ como \ raz\~ao \ \longrightarrow \\ \\ S_{(n)} \ = \ \frac{\frac{7}{2} \ \cdot \ (\frac{\sqrt{3}}{2}^n \ - \ 1)}{\frac{\sqrt{3}}{2} \ - \ 1} \ \rightarrow \\ \\ S_{(n)} \ = \ \frac{\frac{7}{\not{2}} \ \cdot \ (\frac{\sqrt{3}}{2}^n \ - \ 1)}{\frac{\sqrt{3} \ - \ 2}{\not{2}}} \ \rightarrow$

$\boxed{\boxed{S_{(n)} \ = \ \frac{7 \ \cdot \ (\frac{\sqrt{3}}{2}^n \ - \ 1)}{(\sqrt{3} \ - \ 2)}}} \ \Rightarrow \ Dita \ soma \ poligonal!$