Question

uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas , 6homens e 4 mulheres . de quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoroia que tenha 3 homens e 2 mulheres?

Answer 1

Para formar uma comissão dessa forma devemos selecionar 3 homens dentre o total de 6 , e 2 mulheres do total de 4.

1) Escolhendo os 3 homens :

C6,3 = $\frac{6!}{(6-3)!3!}$

C6,3 = $\frac{6!}{3!3!}$

C6,3 = $\frac{6.5.4.3!}{3!3!}$

C6,3 = $\frac{6.5.4}{3!} = \frac{6.5.4}{6}$

C6,3 = 20 maneiras 

2) Escolhendo as 2 mulheres :

C4,2 = $\frac{4!}{(4-2)!2!}$

C4,2 = $\frac{4.3.2.1}{2!2!}$

C4,2 = $\frac{24}{2.1.2.1}$

C4,2 = 24/4 = 6 maneiras

Total de maneiras de formar a comissão :

20.6 = 120 maneiras

Answer 2

Temos à disposição

     6 homens;

     4 mulheres.


•   Calculando de quantas formas podemos escolher 3 homens.

A ordem dos homens escolhidos é irrelevante (ABC = BCA = BAC = ...). Trata-se de um problema de combinações simples.

(combinações simples de 6 elementos, tomados em grupos de 3)

$\mathsf{\dbinom{6}{3}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{6!}{3!\cdot (6-3)!}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{6!}{3!\cdot 3!}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{6\cdot 5\cdot 4\cdot \diagup\!\!\!\! 3!}{\diagup\!\!\!\! 3!\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}$

$=\mathsf{\dfrac{6\cdot 5\cdot 4}{6}}\\\\\\ =\mathsf{20}\qquad\checkmark$


•   Calculando de quantas formas podemos escolher 2 mulheres:

(combinações simples de 4 elementos, tomados em grupos de 2)

$\mathsf{\dbinom{4}{2}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{4!}{2!\cdot (4-2)!}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{4!}{2!\cdot 2!}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{4\cdot 3\cdot \diagup\!\!\!\! 2!}{\diagup\!\!\!\! 2!\cdot 2\cdot 1}}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{4\cdot 3}{2}}\\\\\\ =\mathsf{6}\qquad\checkmark$

_________

•   Para encontrar a quantidade de comissões possíveis, usamos o PFC

(é só multiplicar os resultados obtidos acima)

$\mathsf{20\cdot 6}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{120~maneiras} \end{array}}\qquad\longleftarrow\qquad\textsf{esta \'e a resposta.}$


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Bons estudos! :-)


Tags: combinação maneiras princípio fundamental da contagem análise combinatória