Question

Um valor inicial de r$ 500,00 será aplicado a uma taxa de juros anual. Qual deve ser a taxa de juros para que o valor inicial dobre em dez anos.

Answer 1

Para que o valor inicial dobre a taxa de juros deverá ser de 7,2%a.a.

Juros Composto

O valor final após uma aplicação é chamada de montante, logo, para calcular a montante advinda de uma negociação utilizando-se o juros composto é dada a fórmula:

$M=C(1+i)^{t}$, onde:

• M é o valor final da negociação, também chamada de montante;
• C é o valor inicial da negociação, também chamada de capital;
• i é a taxa de juros expressa em decimais;
• t é o tempo total.

Resolução do Exercício

Dados do enunciado:

• Capital (C) = R$500,00;
• Montante (M) = dobro do capital;
• Tempo de aplicação (t) = 10 anos.

Pede-se que seja calculada a taxa de juros anual.

Passo 1. Cálculo da montante

Como foi informado que a montante deverá ter o dobro do valor inicial, ou seja, o dobro do capital, tem-se:

M = 2 × C

M = 2 × R$500,00

M = R$1.000,00

Passo 2. Cálculo da taxa de juros

Para o cálculo da taxa de juros utiliza-se a fórmula dada, assim sendo:

$1.000,00=500,00(1+i)^{10}$

$\displaystyle \frac{1000,00}{500,00}=(1+i)^{10}$

$2 = (1 + i)^{10}$

Para continuar a resolução desta questão utiliza-se o logaritmo. Voltando ao exercício, adota-se Log 2 = 0,3, então:

$Log 2 = Log(1+i)}^{10}$

$0,3 = Log(1+i)^{10}$

No logaritmo há uma propriedade sobre expoentes, onde:

$Logx^{n}=n*Logx$

Então:

$0,3 = 10*Log(1+i)$

$\displaystyle \frac{0,3}{10} = Log(1+i)$

$0,03 = Log(1+i)$

Utilizando mais uma propriedade sobre logaritmo, tem-se:

$\displaystyle Log_{b} a=x$  ⇄ $\displaystyle b^{x} = a$

Quando as bases (b) do logaritmo não são descritas, adota-se como sendo base igual a 10, então:

$10^{0,03}=(1+i)$

$1,072=1+i$

$i = 1,072-1$

$i=0,072$

Ou seja, a taxa de juros é de 7,2%a.a.

Para melhor fixação do conteúdo você pode ver outra pergunta sobre juros composto no link: brainly.com.br/tarefa/52404633

Bons estudos!

#SPJ4