Question

Um triângulo equilátero tem lado 18√3cm e é base de um prisma reto de altura 48cm. Calcule o raio da maior esfera contida neste prisma.

Answer 1

• O que é um prisma?

Um prisma é um sólido formado por dois polígonos paralelos, unidos por faces retangulares. Existem diversos tipos de prismas. Quanto à inclinação, são classificados como:

1. Reto: Se a base fizer 90° com as faces retangulares.
2. Oblíquo: Se a base fizer um ângulo diferente de 90° com as faces retangulares.

Quanto ao formato da base, existem infinitos prismas, pois as bases podem ser os mais diversos polígonos. Nesse sentido, por exemplo, temos:

1. Prisma retangular: a base é um retângulo.
2. Prisma triangular: a base é um triângulo.
3. Prisma hexagonal: a base é um hexágono.

Além disso, um prisma pode ser classificado como prisma regular quando a sua base é um polígono regular (todos os lados são iguais) e quando ele é um prisma reto.

• Resolução da questão:

Se o triângulo equilátero (polígono regular) é base de um prisma reto, então o prisma formado será um: Prisma Triangular Regular Reto.

Note que o fator que limita o quão grande o raio da esfera será é a menor distância do centro do prisma à face. Nesse sentido, suponha que a esfera coube no prisma e que traçamos um plano que passa pelo centro da esfera e é paralelo à base do prisma.

Dessa forma, a maior seção horizontal da esfera deverá ser inscritível no triângulo da base. Assim, teremos o exposto na Figura 2.

O cálculo da altura de um triângulo equilátero é dado pela fórmula:

$\boxed{h = \dfrac{\sqrt{3}.L}{2}}$

Em que:

1. L é o lado do triângulo
2. h é a altura

Substituindo valores:

$h =\frac{\sqrt{3}.18\sqrt{3}}{2} = \frac{18.3}{2} = 9.3 = 27~cm$

Sabemos que as medianas são cevianas que partem do vértice de um triângulo e vão até a metade do lado oposto de qualquer triângulo. Além disso, as medianas contêm 2/3 de seu comprimento do vértice ao baricentro e 1/3 do baricentro ao lado. Assim, o valor do raio é exatamente 1/3 da mediana (Figura 1).

Como estamos falando de um triângulo equilátero, as medidas da mediana, bissetriz e altura são exatamente iguais. Dessa maneira, para achar o raio basta calcular 1/3 da altura.

$\mathsf{\dfrac{1}{3}.27 = \boxed{9~cm}}$

Como a altura da esfera é o diâmetro, ou seja, 18 cm e a altura do prisma é 48 cm, então, de fato, além da esfera caber horizontalmente, ela se encaixa verticalmente no prisma. Logo, o maior raio da esfera contida é 9 centímetros.

Aprenda mais sobre pontos notáveis de um triângulo e cevianas em, respectivamente:

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