Question

Um triângulo ABC é tal que o lado BC = 8cm e h = 3cm(altura relativa ao lado BC). Calcule a razão AB/AC sabendo que é máxima.
a.) 3 b) 2 c) 3/2 d) √3 e) √3+√2

Answer 1

Olá Rebeca!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{A}}$

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, desenhe um triângulo qualquer ABC de base BC. Por conseguinte, trace a bissetriz interna e a bissetriz externa do vértice A; considere M o pé da bissetriz interna e N o pé da bissetriz externa.

Sabemos que: as bissetrizes interna e externa que partem de um mesmo vértice de um triângulo dividem harmonicamente (Divisão Harmônica) o lado oposto na mesma razão dos lados adjacentes.

Ou seja,

$\displaystyle \boxed{\mathtt{\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} = \frac{\overline{NB}}{\overline{NC}} = k}} \qquad \qquad \mathtt{(i)}$

Onde $\displaystyle \mathtt{k \in \mathbb{R_+^*}}$.

Ademais, já que $\displaystyle \mathtt{\overline{AM} \perp \overline{AN}}$ e os pontos M e N são conjugados harmônicos do segmento $\displaystyle \mathtt{\overline{BC}}$ na razão $\displaystyle \mathtt{k}$, o círculo de diâmetro $\displaystyle \mathtt{\overline{MN}}$ será o lugar geométrico dos pontos $\displaystyle \mathtt{A}$ tais que $\displaystyle \mathtt{\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} = k}$

Obs.: o referido círculo de diâmetro $\displaystyle \mathtt{\overline{MN}}$ é conhecido como CÍRCULO DE APOLONIUS!!

Com efeito, de (i) - bissetriz interna:

$\displaystyle \mathsf{\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} = k \Rightarrow \boxed{\mathsf{\overline{MB} = k \cdot \overline{MC}}}}$

Mas, de acordo com o enunciado, $\displaystyle \mathtt{\overline{BC} = 8}$. Daí,

$\displaystyle \\ \mathsf{\overline{BC} = 8} \\\\ \mathsf{\overline{MB} + \overline{MC} = 8} \\\\ \mathsf{k \cdot \overline{MC} + \overline{MC} = 8} \\\\ \mathsf{\overline{MC} \cdot (k + 1) = 8} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{MC} = \frac{8}{k + 1}}}$

 

Assim,

$\displaystyle \\ \mathsf{\overline{MB} = k \cdot \overline{MC}} \\\\ \mathsf{\overline{MB} = k \cdot \frac{8}{k + 1}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{MB} = \frac{8k}{k + 1}}}$

Com efeito, de (i) - bissetriz externa:

$\displaystyle \mathsf{\frac{\overline{NB}}{\overline{NC}} = k \Rightarrow \boxed{\mathsf{\overline{NB} = k \cdot \overline{NC}}}}$

Mas, $\displaystyle \mathtt{\overline{NB} = \overline{BC} + \overline{NC}}$.

Portanto,

$\displaystyle \\ \mathsf{\overline{NB} = \overline{BC} + \overline{NC}} \\\\ \mathsf{k \cdot \overline{NC} = 8 + \overline{NC}} \\\\ \mathsf{k \cdot \overline{NC} - \overline{NC} = 8} \\\\ \mathsf{\overline{NC} \cdot (k - 1) = 8} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{NC} = \frac{8}{k - 1}}}$

Então, temos que o diâmetro $\displaystyle \mathtt{\overline{MN}}$ é dado por:

$\displaystyle \\ \mathsf{\overline{MN} = \overline{MC} + \overline{NC}} \\\\ \mathsf{\overline{MN} = \frac{8}{k + 1} + \frac{8}{k - 1}} \\\\ \mathsf{\overline{MN} = 8 \cdot \left ( \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k - 1} \right )} \\\\ \mathsf{\overline{MN} = 8 \cdot \frac{k - \cancel{1} + k + \cancel{1}}{k^2 - 1}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{MN} = \frac{16k}{k^2 - 1}}}$

Rebeca, numa das suas tarefas que respondi aqui, vimos que a base de um triângulo retângulo é sempre maior ou igual ao dobro da sua altura, portanto, tiramos que:

$\displaystyle \\ \mathsf{\overline{MN} \geq 2h} \\\\\\ \mathsf{\frac{16k}{k^2 - 1} \geq 6} \\\\\\ \mathsf{\frac{16k}{k^2 - 1} - 6 \geq 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{16k - 6k^2 + 6}{k^2 - 1} \geq 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{- 3k^2 + 8k + 3}{k^2 - 1} \geq 0}$

Resolvendo a desigualdade acima concluímos que:

$\displaystyle \boxed{\boxed{\mathsf{S = \left \{ k \in \mathbb{R} \, | \, - 1 < k \leq \frac{- 1}{3} \ \cup \ 1 < k \leq 3 \right \}}}}$

Daí, como k deve ser máximo, temos que:

$\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{k = 3}}}}$

Qualquer dúvida, comente!!!