Question

Um trem viajade uma cidade a outra sempre com velocidade constante.quando a viagem é feita com 16km/h a mais na velocidade o tempo gasto diminuiem duas horas e meia e quando á feita com 5km/h a menos na velocidade o tempo gasto aumenta em uma hora qual é a distancia entre estas cidades?

Answer 1

Olá, jovem dama. Hum, essa é uma questão bastante interessante. provavelmente pode ser solucionada por física, mas utilizarei mais o campo da matemática para elucidar seu questionamento.

O esquema a seguir ilustra o trajeto de um trem do ponto "A" ao ponto "B", sendo "∆S" a distância entre esses dois pontos:

A ∆S B
•--------•

•Analisando o enunciado da questão, conseguimos obter três afirmações interessantes para a resolução da questão:

1ª) A primeira afirmação ficou subentendida na questão. Ela seria a simples ideia de que: se o trem se mover com uma velocidade V, ele chegará ao seu destino em um tempo T. Essa é a afirmação mais importante, pois ela constrói toda a base às seguintes.

2ª) Se o trem aumentar sua velocidade em 16km/h, isto é, se ele ficar com uma velocidade igual a "V+16", então, o tempo necessário para chegar ao seu destino diminuirá 2,5 horas, ou seja, passará a demorar "T - 2,5".

3ª) Se o trem diminuir sua velocidade em 5km/h, isto é, se ele ficar com uma velocidade igual a "V - 5", então, o tempo necessário para chegar ao seu destino aumentará 1 hora, ou seja, passará a demorar "T + 1".

*Sabendo dessas afirmativas, a senhorita só precisa ter em vista que o objetivo da questão é descobrir a ∆S, ou seja, a distância percorrida pelo trem.

Vale lembrar que para saber quanto um móvel percorreu, tendo sua velocidade, é preciso saber o tempo que ele demorou para percorrer esse caminho. Nesta questão, é exatamente essa situação que temos. Se multiplicarmos a grandeza velocidade pela grandeza tempo, adquiriremos o ∆S.

Analisando as dimensões:

$v = \frac{km}{h} \\ tempo = hora(h)$
•Assim:

$velocidade \times tempo = \frac{km}{h} \times \frac{h}{1} = km$
*obs.: velocidade x tempo = distância percorrida.

•Em todas aquelas afirmações anteriores o tempo e a velocidade eram distintos, mas a distância percorrida pelo trem era a mesma. Portanto, o produto entre a velocidade e o tempo de cada uma das três afirmações deverá resultar em uma constante, e essa é exatamente a ∆S ( a distância).

Devido ao motivo citado acima, pode se construir um sistema de equações com duas variáveis que é possível e determinado. As duas variáveis em questão serão "V" e "T", ou seja, a situação inicial.
como as afirmações que faz no início da questão resultam em uma constante, para formar as equações que desejo, irei igualar a 2ª afirmação com a 1ª e a 3ª afirmação com a 1ª.

A partir daqui, a ideia será expressa, em sua maioria, por meio de cálculos matemáticos.

Equação 1:

$(v + 16) \times (t - 2.5) = v \times t \\ v \times t - 2.5v + 16t - 40 = v \times t \\ - 2.5v + 16t = 40$

Equação 2:

$(v - 5) \times (t + 1) = v \times t \\ v \times t + v - 5t - 5 = v \times t \\ v - 5t = 5$

•Resolvendo o sistema de equações - multipliquei a equação 2 por 2,5 e, então, somei as duas equações, eliminando a incógnita "V":

$- 2.5v + 16t = 40$

+

$2.5v - 12.5t = 12.5$

=

$3.5t = 52.5 \\ t = 15 \: horas$

•Sabendo o valor de uma das incógnitas, é só substituir o valor encontrado em qualquer uma das duas equações para conseguir descobrir o outro valor desconhecido. Neste caso, pegarei a equação número 2 por ser algebricamente mais fácil de trabalhar.

equação 2:

$v - 5t = 5 \:$
t = 15; então...

$v - 5 \times 15 = 5 \\ v = 80 \: \frac{km}{h}$

Retomando os conhecimento anteriores já mencionados na resolução dessa questão, sabe-se que para descobrir o caminho percorrido pelo trem (∆S), é necessário multiplica a velocidade pelo tempo de viagem. os dois valorem foram recém encontrados, então, jovem, falta somente os multiplicar.

∆S = V × T
∆S = 80 × 15
∆S = 1200 quilómetros (km).

Bom, jovem dama, com isso me despeço. Espero que tenha elucidado seu questionamento. Bons estudos, boa noite. Qualquer dúvida, é só perguntar.