Question

Um tetraedro ABCD foi colocado dentro de um cubo de aresta 4cm, conforme a figura abaixo.A área total do tetraedro é

Answer 1

As alternativas são:

a) 6(3 + √3) cm²

b) 8(6 + √3) cm²

c) 8(2 + √3) cm²

d) 8(3 + √3) cm²

Solução

Perceba que as faces do tetraedro são três triângulos retângulos (ACB, ACD e BCD) e um triângulo ABD.

Perceba que os triângulos ACB, ACD e BCD são iguais.

A área total do tetraedro é igual à soma das áreas desses quatro triângulos.

Como a aresta do cubo mede 4 cm, então as áreas dos triângulos ACB, ACD e BCD são iguais a:

$A'=\frac{4.4}{2}$

A' = 8 cm².

Agora, vamos calcular a área do triângulo ABD.

Observe a imagem abaixo.

O segmento AE é a altura do triângulo ABD. Já o segmento CE é a metade da diagonal da face, ou seja, CE = 2√2.

Utilizando o Teorema de Pitágoras:

AE² = 4² + (2√2)²

AE² = 16 + 8

AE² = 24

AE = 2√6 cm.

O segmento BD mede 4√2.

Então, a área do triângulo ABD é igual a:

$A'' = \frac{4\sqrt{2}.2\sqrt{6}}{2}$

A'' = 8√3 cm².

Portanto, a área total do tetraedro é igual a:

A = 3.8 + 8√3

A = 8(3 + √3) cm².

Alternativa correta: letra d).