Question

Um terreno triangular e sabe-se que tem dois lados medindo $5~ metros$ . Para que a área desse terreno seja $10m^2$, uma possibilidade para a medida do terceiro lado é:

Answer 1

 Olá FL12, boa tarde!

 Para resolver o problema, podemos aplicar o Teorema de Herão.

 - Consideremos $k$ o valor da outra medida do terreno;

- O semiperímetro é dado por:

$\\2p=a+b+c\\\\p=\frac{a+b+c}{2}\\\\p=\frac{5+5+k}{2}\\\\p=\frac{10+k}{2}\\\\p=5+\frac{k}{2}$
 
 Segue que,

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\\\10=\sqrt{(5+\frac{k}{2})(5+\frac{k}{2}-5)(5+\frac{k}{2}-5)(5+\frac{k}{2}-k)}\\\\(10)^2=\left(\sqrt{(5+\frac{k}{2})\cdot\frac{k}{2}\cdot\frac{k}{2}\cdot(5-\frac{k}{2})}\right)^2\\\\100=(25-\frac{k^2}{4})\cdot\frac{k^2}{4}\\\\100=\frac{25k^2}{4}-\frac{k^4}{16}\\\\k^4-100k^2+1600=0$
 
 Podes resolver a equação biquadrada por Bháskara, fazendo $k^2=x$, por exemplo...
 
 Farei por soma e produto (fatoração). Segue que:

$k^4-100k^2+1600=0\\\\(k^2-80)(k^2-20)=0\\\\(k+\sqrt{80})(k-\sqrt{80})(k+\sqrt{20})(k-\sqrt{20})=0$
 
 Uma vez que a medida do terreno não pode assumir valores negativos, temos que:

$\begin{cases}k=\sqrt{80}\Rightarrow\,k=\sqrt{16\cdot5}\Rightarrow\boxed{\boxed{k=4\sqrt{5}\;\text{metros}}}\\k=\sqrt{20}\Rightarrow\,k=\sqrt{4\cdot5}\Rightarrow\boxed{\boxed{k=2\sqrt{5}\;\text{metros}}}\end{cases}$