Question

Um tanque tem o formato de um cone circular reto invertido, e armazena petróleo, esvaziando-o pelo vértice. Quando o nível de petróleo está a uma altura de 20 metros, há 1500π m³ de petróleo. Depois de retirados do tanque 1212π m³ de petróleo, a que altura, aproximadamente, estará o seu nível no tanque, em metros? *
1 ponto

Answer 1

Resposta:

$h = 8 \sqrt[3]{3} \: m$

Explicação passo-a-passo:

Ótima questão. O raciocínio foi montado na seguinte premissa: à medida que o volume diminui, a altura e o raio do cone também diminuem, mas numa razão invariável entre o raio e a altura (r/h), que é a tangente do ângulo do vértice, formado entre a altura e a geratriz.

1) Cálculo do raio com V e h iniciais:

$v = \frac{1}{3} \pi {r}^{2}h \\ 1500\pi = \frac{20}{3} \pi {r}^{2} \\ {r}^{2} = \frac{4500}{20} = 225 \\ r = 15 \: m$

Cálculo da razão r/h = tg (vértice):

$\frac{r}{h} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} \\ r = \frac{3}{4} h$

Cálculo da altura para o novo volume:

$v = 1500\pi - 1212\pi \\ v = 288\pi$

[tex]v = \frac{1}{3} \pi \ ({ \frac{3}{4} h)}^{2} \times h \\ 288\pi = \frac{1}{3} \pi \frac{9}{16} {h}^{3} \\ {h}^{3} = \frac{288 \times 16}{3} \\ {h}^{3} = 1536

h = 8 \sqrt[3]{3} m