Um observador (O), do ponto mais alto de um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d. Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respectivamente. Como R é muito maior que h, pode-se admitir que 2R + h = 2R. Assim, é fácil provar, usando essa aproximação, que d = √2Rh (tente!). O raio da Terra tem, aproximadamente, 6300 km. Usando essa fórmula do item qual a distância (d) do horizonte, em metros, quando o observador está a uma altura h = 4,2875 m? *
Soluções para a tarefa
Resposta:
d = 7.350 m
Explicação passo a passo:
Ver a figura anexa. A linha do horizonte L é o limite máximo de visão de um observador a uma determinada altura h acima do nível do mar, pois tangencia a esfera terrestre. Além desse limite, a própria curvatura da Terra oculta a visão do observador. Como L é tangente à esfera terrestre, resulta que é perpendicular ao raio R da Terra, formando com R um ângulo reto.
1) Cálculo da distância máx de visão (d) de um observador a uma altura h:
Os segmentos OC, OL e LC formam o ΔOLC, retângulo em L, onde:
Hipoten: OC = R + h = Raio da Terra + altura do observador;
Cateto 1: OL = d = distância máxima de visão do observador;
Cateto 2: LC = R = Raio da Terra.
Por Pitágoras, temos que OC² = LC² + OL², ou (R+h)² = R² + d²
d² = (R+h)² - R² → d² = R² + 2Rh + h² - R² → d² = 2Rh + h²
d = √(2Rh + h²).
No entanto, com h em metros e R em milhões de metros, R>>h, ou seja, 2Rh >> h², o que torna h² desprezível. A tabela na figura anexa traz simulações para várias alturas, onde fica demonstrado que o aumento de h só passa a influenciar significamente o resultado de d em alturas acima de 100.000 m (órbita na Terra), como no caso da ISS (h ≈400.000 m). Ou seja, podemos com segurança, simplificar o cálculo de d para:
d = √(2Rh)
2) Cálculo da distância para um observador a uma altura h = 4,2875m
d= √(2 × 6,3×10^6 × 4,2875)
d = 7.350 m
