Question

Um sólido é formado pela superposição de cone sobre um cilindro de raio da base r. Sendo a altura do sólido o triplo do raio r e a área lateral do sólido o quíntupIo da área da base do cilindro, qual é o volume do sólido em função de r

Answer 1

O volume do sólido em função de R é 19πr³/9.

A partir dos dados fornecidos na questão:

Raio da base do cilindro = r  

Altura do sólido = 3r (no caso x+y = 3r)  

Área lateral do solido = 5 . Área da base do cilindro  

Volume do sólido em função do raio (r) = ??  

Primeiramente, devemos encontrar a geratriz, através da fórmula de Pitágoras:

g² = √y² + r²

Sendo,

AL = área lateral

V = volume

Logo,

ALsolido = 5πr²  

Vsolido = Vcilindro + Vcone  

Vsolido = πr².x + πr².y/3  

Vsolido = πr² (x+y/3)

Sendo,

x +y = 3r  

x = 3r - y

Área lateral do sólido = Área lateral do cilindro + Área lateral do cone  

ALsolido = 2πrx + πrg  

5πr² = 2πrx + πrg (corta πe o ² do r)  

5r = 2x + g  

(5-2x)² = g²  

25r² -20rx + 4x² = y²+r²  

25r² - 20r (3r-y) + 4 (3r -y) = y²+ r²  

25r² - 60r² + 20yr + 4 (9r² - 6ry + y²) = y² + r²  

-35r² + 20yr + 36r²-24ry+4y² = y²+r²  

r² -4yr + 4y²-y²-r² = 0  

3y²-4yr =0  

-4yr = -3y²  

r = 3y²/4y  

r = 3y/4  

y = 4r/3

Agora que encontramos a altura do sólido, podemos calcular seu volume:

Vsolido = πr² (x+y/3)  

Vsolido = πr² (3r-y + y/3)  

Vsolido = πr² (3r -2y/3)  

Vsolido = πr² (3r - 2(4r/3)/3)  

Vsolido = πr²(3r -(8r/3)/3)  

Vsolido = πr²(3r-8r/9)  

Vsolido = πr².(27r/9 - 8r/9)  

Vsolido = πr² (19r/9)  

Vsolido = 19πr³/9

Bons estudos!