Question

Um sistema de equações corresponde a uma situação na qual se conhece mais de uma relação entre as grandezas estudadas. Para um sistema de duas incógnitas, por exemplo, necessita-se de duas dessas relações. Então, utilizando qualquer processo resolutivo, podemos calcular os valores das incógnitas, caso existam. As equações $2x^{2}+y=0$ e $y^{2}+xy+y=0$ constituem uma dessas situações, cuja soma de todas as coordenadas do conjunto solução é dada por:
A) -4
B) -2
C) -1
D) 0
E) 4

Answer 1

Temos o seguinte sistema de equações (não linear)

$\left\{ \!\begin{array}{lc} 2x^2+y=0&~~~~\mathbf{(i)}\\\\ y^2+xy+y=0&~~~~\mathbf{(ii)} \end{array} \right.$


Isole $y$ na equação $\mathbf{(i)},$ e substitua na equação $\mathbf{(ii)}:$

$y=-2x^2~~~~~~(\Rightarrow~~y\le 0)\\\\\\ (-2x^2)^2+x\cdot (-2x^2)+(-2x^2)=0\\\\ 4x^4-2x^3-2x^2=0\\\\ 2x^2\cdot (2x^2-x-1)=0\\\\ \begin{array}{rcl} 2x^2=0&~\text{ ou }~&2x^2-x-1=0 \end{array}$


Resolvendo cada uma das equações acima:

$\bullet\;\;2x^2=0\\\\ x^2=0\\\\ x=0$


A primeira possibilidade para $x$ é

$x_1=0$


$\bullet\;\;2x^2-x-1=0$

Vou resolver via fatoração por agrupamento.

Subtraindo e somando $2x$ ao lado esquerdo, temos

$2x^2-2x+2x-x-1=0\\\\ 2x^2-2x+x-1=0\\\\ 2x\cdot (x-1)+1\cdot (x-1)=0\\\\ (x-1)\cdot (2x+1)=0\\\\ \begin{array}{rcl} x-1=0&~\text{ ou }~&2x+1=0\\\\ x=1&~\text{ ou }~&2x=-1\\\\ x=1&~\text{ ou }~&x=-\,\dfrac{1}{2} \end{array}$


Então, as outras duas possibilidades para $x$ são

$\begin{array}{rcl} x_2=1&~\text{ e }~&x_3=-\,\dfrac{1}{2} \end{array}$

___________

Encontrando $y$ correspondente a cada $x:$

$\bullet\;\;$ Para $x=x_1=0:$

$y_1=-2x_1^2\\\\ y_1=-2\cdot 0^2\\\\ y_1=0$


$\bullet\;\;$ Para $x=x_2=1:$

$y_2=-2x_2^2\\\\ y_2=-2\cdot 1^2\\\\ y_2=-2\cdot 1\\\\ y_2=-2$


$\bullet\;\;$ Para $x=x_3=-\,\dfrac{1}{2}:$

$y_3=-2x_3^2\\\\ y_3=-2\cdot \left(-\,\dfrac{1}{2} \right )^2\\\\\\ y_3=-2\cdot \dfrac{1}{4}\\\\\\ y_3=-\diagup\!\!\!\! 2\cdot \dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 2}\\\\\\ y_3=-\,\dfrac{1}{2}$

____________

Temos 3 pares ordenados $(x,\,y)$ que são soluções para o sistema dado:

$\bullet\;\;(x,\,y)=(0,\,0)\\\\ \bullet\;\;(x,\,y)=(1,\,-2)\\\\ \bullet\;\;(x,\,y)=\left(-\,\dfrac{1}{2},\,-\,\dfrac{1}{2}\right)$

________

A soma de todas as coordenadas do conjunto solução é

$x_1+y_1+x_2+y_2+x_3+y_3\\\\ =0+0+1+(-2)+\left(-\,\dfrac{1}{2} \right )+\left(-\,\dfrac{1}{2} \right )\\\\\\ =1-2-\,\dfrac{1}{2}-\,\dfrac{1}{2}\\\\\\ =1-2-1\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}-2 \end{array}}$


Resposta: alternativa $\text{B) }-2.$


Bons estudos! :-)