Question

Um retângulo está inscrito em um semicírculo de raio 1, tendo um de seus lados (base) sobre o diâmetro. Calculando a razão entre a altura e a base desse retângulo, de modo que sua área seja máxima, a resposta será (A) 2. (B) 1. (C) 4l (D) S. (E) -. 2

Answer 1

Primeiramente, vamos chamar a base do retângulo de "b" e a altura de "h".

Desse modo, é possível montar um triângulo retângulo com metade da base, a altura do retângulo e a hipotenusa equivalente a 1, que é o raio do semicírculo:

(b/2)² + h² = 1²

h = + √1 - b²/4 (utilizamos somente a raiz positiva pois, como trata-se de uma dimensão, o valor deve ser positivo).

Agora, calculamos a área do retângulo:

A = b * h

Substituindo h, temos:

A = b * √1 - b²/4

A = √ b² - b^4 / 4

Fazendo b² = x, temos:

A = √ x - x²/4

A função x - x²/4 possui área máxima quando x=2, então:

b² = 2

b = √2

Por fim, substituímos o valor de b para encontrar h:

h = √1 - b²/4

h = √1 - (√2)²/4

h = √1/2

h = √2 / 2

Com os valores de h e b encontrados, podemos calcular a razão:

h / b = (√2 / 2) / √2

h / b = 1/2

Portanto, a razão h/b é igual a 1/2.


Alternativa correta: E.