Question

Marcos, sentindo muito calor, senta-se em um bar e pede um chope, o qual lhe é servido em uma “tulipa”, que é um copo na forma de um cone invertido. O garçom chega com a bebida ao mesmo tempo em que “Purê”, seu grande amigo, passa em frente ao bar. Marcos grita: - “Purê, sente-se aqui e tome a metade do chope desta tulipa comigo!” Purê senta-se, faz cara de quem não sabe o que fazer e diz: - “Marcos, mas até que altura do copo eu devo beber o chope para que sobre exatamente a metade para você?” Marcos pega um guardanapo de papel, uma caneta e mede a altura da tulipa, que era de 20 cm. Após alguns minutos e algumas contas, Marcos diz ao amigo: - “Você deve beber os primeiros... Use: 41/3 ~ 1,6 (A) 4 cm de chope na tulipa”. (B) 5 cm de chope na tulipa”. (C) 10 cm de chope na tulipa”. (D) 15 cm de chope na tulipa”. (E) 16 cm de chope na tulipa”.

Answer 1

Bom dia,

Inicialmente precisamos da equação do volume de um cone:

$V= \frac{\pi*r^2*h}{3}$

Como os amigos querem dividir a cerveja em dois, cada um tomará o equivalente à V/2.

Como purê tomará a primeira metade, o que sobra de cerveja no copo para Marcos forma um novo cone com altura e raio menores (chamaremos de h' e r')

O que sabemos é que a proporção entre o raio e a altura dos cones se mantem:

$\frac{r}{h} = \frac{r'}{h'}$

E sabemos que o volume do cone menor é metade do volume original. Assim:

$V'= \frac{V}{2}= \frac{\pi*r'^2*h'}{3} \to V=2*\frac{\pi*r'^2*h'}{3}$

Como temos duas equações para V, vamos substitui-lo pelas suas igualdades:

$\frac{\pi*r^2*h}{3}=2*\frac{\pi*r'^2*h'}{3}$

E aplicando a proporcionalidade entre cones:

$\frac{\pi*r^2*h}{3}=2*\frac{\pi*( \frac{r*h'}{h}) ^2*h'}{3}$

Cortando os termos que aparecem dos dois lados:

$r^2*h=2* \frac{r^2*h'^2}{h^2} *h'$

$h=2* \frac{h'^2}{h^2} *h' \to h'^3= \frac{h^3}{2}$

$h'= \sqrt[3]{\frac{20^3}{2} } =15,87cm$

Ou seja, restaram no copo 15,87 centimetros de choppe, portanto Purê deve beber 4,13 cm ou aproximadamente 4 cm (opção A)!

Espero ter ajudado. Bons estudos!