Um quadro tem forma retangular de dimensões externas 12cm e 15cm. A moldura tem uma largura x uniforme e a área da região interna à moldura é 88 cm². A largura da moldura é?
RESOLVER COM EQUAÇÃO DE 2°GRAU.
Soluções para a tarefa
Resposta: a largura da moldura é 2 cm
As dimensões do retângulo de fora são: 15 cm e 12 cm. A moldura tem uma largura uniforme. Então vamos chamar a largura da moldura de a.
A área do retângulo interno é 88 cm². As suas dimensões poderiam ser 4 e 22 ou 8 e 11. Ambos os produtos dariam 88 cm². Optamos por 8 e 11 porque 22 é uma medida maior que o comprimento do quadro, não caberia dentro do retângulo maior.
Para montar uma equação de 2° grau vamos subtrair comprimento de comprimento e largura de largura. E a área da moldura que é 180 - 88 = 92 cm².
área = base . altura
180 - 92 = (15 - a) (12 - a )
88 = 15 (12 - a) - a (12 - a)
88 = 180 - 15a - 12a + a²
88 = 180 - 27a + a²
0 = - 88 + 180 - 27a + a²
0 = 92 - 27a + a²
Δ = (-27)² - 4. 1 . 92
Δ = 729 - 368
Δ = 361
a' = [-(-27) + √361]: 2.1
a' = [27 + 19];2
a' = 46/2
a' = 23 ⇒ não serve por ser maior que as medidas dos dois retângulos.
a'' = [27 - 19] : 2
a'' = 8 : 2
a'' = 4 ⇒ ainda não é a largura da moldura pois quando montamos a equação não consideramos a largura do retângulo de fora nem de dentro. Temos de dividir por 2. Então 4 : 2 = 2 cm (largura da moldura).
Comprovando: 15 - 2.2 = 11
12 - 2.2 = 8
11 . 8 = 88 cm²
Obs.: se subtraímos a largura da moldura dá largura e comprimento do retângulo de dentro.
Outra forma de resolver e considerar as duas larguras dos dois retângulos ao montar a equação:
(15 - 2a) (12 - 2a) = 180 - 92
15 (12 - 2a) - 2a (12 - 2a) = 88
180 - 30a - 24a + 4a² = 88
4a² - 54a + 180 - 88= 0
4a² - 54a + 92 = 0
Δ = (-54)² - 4.4.92
Δ = 2 916 - 1472
Δ = 1444
a' = [- (-54) + √1444] : 2.4∴ a' = [54 + 38]:8 ∴ 92: 8 ∴ a' = 23/2 (não serve por ser maior que as medidas dos dois retângulos)
a'' = [54 - 38]: 8 ∴ a' = 16/8 ∴ a'' = 2 cm