Question

Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio r unidades. Determina a medida do lado do
quadrado em função de r.​

Answer 1

Olá!

Interpretando o problema:

Quando um quadrado está inscrito em uma circunferência, seus quatro vértices tocam na circunferência.

A distância entre dois vértices não adjacentes (opostos) no quadrado é a medida da diagonal do quadrado.

Como essa diagonal toca em dois pontos distintos da circunferência e passa pelo centro, ela representa também o diâmetro da circunferência.

O diâmetro de uma circunferência pode ser calculado pela relação:

$\sf {\color{Blue} d} = 2 {\color{Red} r}$

E a diagonal do quadrado pode ser calculada pela relação:

$\sf {\color{Green} D} = {\color{Purple} L} \sqrt{2}$

Como a diagonal coincide com o diâmetro, temos que:

$\sf {\color{Green} D} = {\color{Blue} d}$

E portanto,

$\sf 2{\color{Red} r} = {\color{Purple} L} \sqrt{2}$

Onde

→ $\sf {\color{Red} r}$ é o raio da circunferência.

→ $\sf {\color{Purple} L}$ é a medida do lado do quadrado.

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Escrevendo a função:

Agora precisamos colocar L em função de r. Para isso, apenas vamos isolar L em um dos lados da igualdade.

$\sf 2{\color{Red} r} = {\color{Purple} L} \sqrt{2}$

$\sf \dfrac{2{\color{Red} r}}{\sqrt{2}} = {\color{Purple} L}$

$\sf {\color{Purple} L} = \dfrac{2{\color{Red} r}}{\sqrt{2}} \cdot \color{Orange} \dfrac{\color{Orange} \sqrt{2}}{\color{Orange} \sqrt{2}}$

$\sf {\color{Purple} L} = \dfrac{2{\color{Red}r} \sqrt{2}}{2}$

$\fbox{\fbox{ \sf {\color{Purple} L} = \color{Red} r \sqrt{2} }}$

→ Portanto, podemos calcular o lado do quadrado a partir do raio da circunferência usando a função $\sf {\color{Purple} L} = \color{Red} r \sqrt{2}$

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)