Question

Um projeto de paisagismo de uma residência previa a construção de um jardim de formato de um polígono regular P1, cujos vértices podem ser representados no plano complexo pelas raízes da equação $x^{4}- 1 = 0$. Ao final da execução do projeto, observou-se que o jardim construído não foi o previsto, visto que, cada uma das raízes da equação foi multiplicada por 2.i, resultando um novo polígono P2. A razão entre as áreas dos polígonos P1 e P2 é:

a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e)4

Ficarei muito grato se alguém poder me ajudar !

Answer 1

As raízes da equação $x^4-1=0$ são:

S={-1, 1, -i, i}

Localizando estes pontos no Plano de Argand-Gauss obteremos um quadrado de lado $\sqrt{2}$ e área=$(\sqrt2)^2=2$

Se as raízes foram multiplicadas por 2i elas se tornaram:

S={-2i, 2i, -2, 2}

Localizando estes pontos no Plano de Argand-Gauss obteremos um quadrado de lado $2\sqrt{2}$ e área=$(2\sqrt2)^2=8$

Assim a razão entre as áreas dos polígonos P1 e P2 é:

$\boxed{r=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}}$