um projétil é lançado, percorre uma trajetória de parábola. A função que representa essa parábola é y = - x² + 8x em que Y representa a altura em metros e X o tempo em segundos. Qual é a maior altura do projétil? Quanto tempo o projeto levará para atingir o alvo?
Soluções para a tarefa
Resposta:
16 metros. 8 segundos.
Explicação passo-a-passo:
A função do lançamento do projétil é:
y = -x² + 8x
Como ele pede a altura máxima do projétil, e a altura, nesse caso, é representado por y, então basicamente devemos achar o máximo da função, ou mesmo o valor de y no vértice da parábola, que será o maior valor possível de y.
Sendo assim, utilizando a fórmula para achar o y no vértice da parábola, temos que:
yv = -Δ / 4a
yv = - (b² - 4 * a * c) / 4a
Para achar os coeficientes da equação do 2º grau, basta nos guiarmos pela equação genérica y = ax² + bx + c
y = -x² + 8x
a = -1, b = 8, c = 0
Portanto, temos que:
yv = - (8² - 4 * (-1) * 0) / 4a
yv = - (64 - 0) / 4 * (-1)
yv = -64 / -4
yv = 16
Logo, a maior altura alcançada pelo projétil é 16 metros.
Considerando que o alvo está na mesma altura de onde o projétil foi disparado, então ele chegará no alvo quando a altura for 0 pela segunda vez (pela primeira vez é logo antes do disparo).
Sendo assim, devemos igualar a altura (y) a 0 para acharmos o tempo (x) necessário para atingir o alvo. Sendo assim:
y = -x² + 8x
0 = -x² + 8x // Multiplicando por (-1)
0 = x² - 8x
Invertendo ambos os lados da igualdade:
x² - 8x = 0
Colocando x em evidência:
x(x - 8) = 0
Veja que, para uma multiplicação resultar em 0, um de seus fatores deve ser 0. Sendo assim:
x' = 0
x'' - 8 = 0
x'' = 8
x' é pouco antes do disparo ser efetuado, ou seja, quando o tempo for 0. Logo, a resposta será x'', 8 segundos.