Question

Um projétil é lançado obliquamente de um canhão, atingindo um alcance igual a 1000 m no plano horizontal que contém a boca do canhão. Nesse canhão, o projétil parte do repouso executando um movimento uniformemente variado dentro do tubo até sair pela boca do canhão. Ademais, a medida que o projétil se desloca no interior do tubo, ele executa um movimento uniformemente variado de rotação, coaxial ao tubo. Tendo sido o projétil rotacionado de 1 rad durante seu deslocamento dentro do canhão, sua aceleração angular, em rad/s2 , ao deixar o canhão é: Dados: ângulo do tubo do canhão em relação à horizontal: 45°; comprimento do tubo: 2 m; aceleração da gravidade: g = 10 m/s2 Consideração: despreze a resistência do ar.

Answer 1

Olá!

Do enunciado temos que:

- O alcance do prjetil = 1000 m.

- ângulo do tubo do canhão em relação à horizontal = 45º

- comprimento do tubo = 2 m

- aceleração da gravidade = g = 10 m/s²

- despreze a resistência do ar.

Primeiro temso que calcular os componentes da velocidade nos eixo, sabendo que temos um ângulo de 45º, e a força de gravidade atuando no meio da trajetoria.

Assim no eixo horizontal é:

$v * cos 45^{o} = \frac{1000}{t}$

no eixo vertical é:

$v * sen 45^{o} = g * \frac{t}{2}$

Por tanto igualando as equações temos que:

$v^{2} * sen 45 * cos 45 = 1000 * \frac{10}{2}$

$v^{2} * \frac{ sen 90}{2} = 1000 * 5$

$v^{2} * sen 90 = 1000 * 5 * 2$

$v^{2} * 1 = 1000 * 5 * 2$

$v^{2} = 10.000$

$v = \sqrt{10.000} \\ v = 100 m/ s$

Agora vamos a calcular o movimento uniformemente variado dentro do tubo até sair pela boca do canhão:

$v^{2} = v^{2}_{0} + 2 a * \Delta S$

$(100)^{2} = 0 + 2 * a * 2\\ 10.000 = 4* a$

$a = \frac{10.000}{4} = 2500 m/ s^{2}$

Agora a partir da velocidade podemos calcular o tempo:

$v = v_{o} + a * t'\\ 100 = 0 + 2.500 * t'$

$t' = \frac{100}{2500} = \frac{1}{25} s$

Finalmente podemos determinar o movimento de rotação, lembrando que o projétil é rotacionado de 1 rad durante seu deslocamento dentro do canhão:

$\Delta \theta = \frac{\alpha *t'^{2}}{2}$

$1 rad = \frac{\alpha}{2} * \frac{1}{(25)^{2}}$

$1 rad = \frac{\alpha * 1}{2 * 625}$

$1 rad = \frac{\alpha}{1250}$

$\alpha = 1250 * 1rad\\ \alpha = 1250 rad /s^{2}$