Um produto que tem valor à vista de R$ 2.500,00 foi financiando em 18 vezes mensais e iguais de R$ 200,00, sob regime e taxa de juros compostos. Qual a taxa de juros compostos aplicada nesse financiamento?
(Inicie os cálculos com taxa de juros compostos de 5% a.m.)
Escolha uma:
a. 6,14% a.m.
b. 6,41% a.m.
c. 1,64% a.m.
d. 1,46% a.m.
e. 4,16% a.m.
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Nós já havíamos dado a nossa resposta a esta questão ainda em 2016. Mas o usuário BrainlyTeam2 achou por bem de "apagar" a nossa resposta sob a argumentação de que ela não estava bem dada.
i) Recomenda o enunciado da questão que os respondedores, nas suas respostas, iniciem os seus cálculos utilizando uma taxa de 5% ao mês no regime de juros compostos.
ii) A questão é esta: "Um produto, que tem valor à vista de R$ 2.500,00, foi financiado em 18 vezes mensais e iguais de R$ 200,00, sob regime e taxa de juros compostos. Qual a taxa de juros compostos aplicada nesse financiamento?" (Observação: o enunciado da questão recomenda que se inicie com uma taxa de juros compostos de 5% ao mês).
iii) Agora vamos responder da forma que havíamos feito anteriormente.
Sabe-se que a prestação mensal (PMT) é dada pela seguinte fórmula:
PMT = VA*CF . (I)
Na fórmula acima, PMT é o valor de cada prestação mensal (no caso R$ 200,00); VA é o valor atual (no caso é o valor à vista e igual a R$ 2.500,00); e CF é o coeficiente de financiamento, cuja fórmula é esta:
CF = i / [1 - 1/(1+i)ⁿ] ----- fazendo as devidas substituições com os dados da questão, cujo tempo é de 18 meses, então teremos:
CF = i / [1 - 1/(1+i)¹⁸] ---- vamos "arrumar" o denominador.
Veja que:
1 - 1/(1+i)¹⁸ -----mmc = (1+i)¹⁸ . Assim, utilizando-o (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der multiplica-se pelo numerador). Assim, iremos ficar com:
[(1+i)¹⁸*1 - 1*1]/(1+i)¹⁸ = [(1+i)¹⁸ - 1]/(1+i)¹⁸ ----- assim, levando este valor, com o denominador já "arrumado", para a nossa expressão CF, ficaremos assim:
CF = i / [(1+i)¹⁸ - 1]/(1+i)¹⁸ ---- veja que aqui temos uma divisão de frações. Regra: conserva-se a primeira fração como está e multiplica-se pelo inverso da segunda. Assim:
CF = (i/1)*[(1+i)¹⁸] / [(1+i)¹⁸ - 1] --- efetuando este produto, ficaremos com:
CF = i*(1+i)¹⁸ / [(1+i)¹⁸ - 1] --- ou apenas:
CF = i(1+i)¹⁸/ [(1+i)¹⁸ - 1] <--- Este é o coeficiente de financiamento da questão.
iv) Agora vamos levar o CF acima para a nossa expressão (I), que é esta:
PMT = VA*CF ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
200 = 2.500*i(1+i)¹⁸ / [(1+i)¹⁸ - 1]
Agora veja: como evidentemente a operacionalização de uma expressão como esta fica deveras difícil sem que saibamos qual é a taxa de juros a utilizar, então foi por isso que o enunciado da questão recomendou que se iniciasse com uma taxa de juros de 5% ao mês.
Na ocasião em que demos a nossa resposta (ainda em 2016) havíamos começado com taxas que ficassem bem próximo de 5% ao mês. E por isso, escolhemos algumas taxas próximas a 5% ao mês que estão nas opções de resposta. E ao fazer isso, verificamos que a única taxa que daria a resposta correta seria a taxa de 4,16% ao mês. E provamos isso, ao substituir "i" por "4,16% ao mês (ou 0,0416). Veja:
200 = 2.500*0,0416*(1+0,0416)¹⁸ / [(1+0,0416)¹⁸ - 1] ----- desenvolvendo, temos:
200 = 104*(1,0416)¹⁸ / [(1,0416)¹⁸ - 1] --- continuando o desenvolvimento:
200 = 104*(2,08) / [2,08 - 1] --- continuando o desenvolvimento:
200 = 216,32 / 1,08 ---- note que esta divisão dá "200" (bem aproximado). Logo:
200 = 200.
Foi assim que chegamos à conclusão de que a taxa de juros do financiamento foi de:
4,16% ao mês <--- Esta é a resposta. Opção "e".
A propósito, e repetindo o que dissemos antes: a operacionalização de uma expressão do CF a que chegamos iria ficar muito difícil para encontrarmos a taxa de juros utilizada no financiamento. Foi por isso que o enunciado da questão recomendou que se iniciasse com uma taxa de 5% ao mês: e foi o que fizemos. Iniciamos com uma taxa bem próxima de 5% (pois já sabíamos que 5% não iria ser pois essa taxa não constava das opções dadas). Aí fomos para 6,14% (que é a opção "a"), depois fomos para 6,41% (que é a opção "b"), e finalmente quando chegamos a 4,16% (que está na opção "e") vimos que ela era a única que atendia ao que a questão pedia. Ou seja, dava exatamente o valor da prestação (PMT) de R$ 200,00.
Esperamos que o BrainlyTeam2 não "apague" novamente a nossa resposta, pois nada fizemos de errado. Fizemos apenas o que a questão recomendou (inicie com uma taxa de juros compostos de 5% ao mês). E foi isso o que fizemos (o que há de errado nisso?).
Outro "a propósito": veja que respondemos a outras questões para o usuário Dinhu (que é o mesmo usuário que postou esta questão) com essa mesma disposição, ou seja, utilizando taxas RECOMENDADAS pelo enunciado da questão, ou seja, que se iniciasse com uma taxa preestabelecida. Esperamos que essas outras questões também NÃO sejam "apagadas" pelo BrainlyTeam2, pois o que fizemos foi o que a questão recomendou.
É isso aí.
OK?
Adjemir.
Resposta:
4,16% a.m.
Explicação passo a passo:
Corrigido pelo AVA