Question

Um polinómio X³+6x²+ax+b é divisil por x²-1 determine a e b

Answer 1

Resposta:

a = -1, b = -6

Explicação passo a passo:

antes, vale lembrar que $x^2 - 1$ é igual a $(x + 1)(x - 1)$. e pra facilitar, eu vou chamar o polinômio $x^3 + 6x^2 + ax + b$ de p(x).

se p(x) é divisível por $x^2 - 1$, ele é divisível por $(x+1)(x-1)$. por isso, p(x) é divisível por x + 1 e por x - 1, individualmente.

se p(x) é divisível por $x-1$, significa que ($x-1$) * (alguma coisa) = p(x).

repara que se x fosse 1, $x - 1$ seria igual a 0, e aí seria 0 * (alguma coisa) = p(x). assim, p(x) seria 0. portanto, quando x = 1, p(x) = 0.

substituindo x por 1 em p(x), e igualando ele a 0:

$1^3 + 6(1^2) + a + b = 0\\\\1 + 6 + a + b = 0\\7 + a + b = 0\\\\a + b = -7$

se p(x) é divisível por $x + 1$, da mesma forma, significa que ($x+1$) * (alguma coisa) = p(x).

seguindo o mesmo raciocínio, se x fosse igual a -1, $x + 1$ seria 0, e aí p(x) seria 0.

substituindo x por -1 em p(x), e igualando ele a 0:

$-1^3 + 6(-1^2) + (-1)a + b = 0\\\\-1 + 6 -a + b = 0\\5 - a + b = 0\\-a + b = -5\\\\a - b = 5$

temos duas equações com a e b:

$a + b = -7$, e $a - b = 5$.

agora, basta resolver o sistema.

resolvendo o sistema por adição:

$2a = -2\\a = -1$

então:

$-1 + b = -7\\b = -6$