Question

um poligono regular tem o angulo interno igual a 170°.

a)quantas diagonais possui esse poligono?

b)qual é a medida do seu ângulo central?​

Answer 1

a) Esse polígono possui 594 diagonais;

b) A medida do ângulo central desse polígono é de 10º.

Para calcularmos o número de diagonais de um polígono regular, temos que encontrar inicialmente o número de lados. Para isso usaremos essa relação:

$\boxed{\mathsf{a_{i} = \dfrac{180\cdot (n-2)}{n}}}\\\\\\\mathsf{a_{i} - medida~do~\hat{a}ngulo~interno}\\\mathsf{n - n\acute{u}mero ~de~lados}$

Aplicando os dados da questão temos:

$\mathsf{170 = \dfrac{180\cdot (n-2)}{n}}\\\\\mathsf{170n = 180\cdot (n-2)}\\\mathsf{170n = 180n + (180 \cdot (-2))}\\\mathsf{170n = 180n - 360}\\\mathsf{170n - 180n = - 360}\\\mathsf{-10n = - 360}\\\\\mathsf{n = \dfrac{-360}{-10}}\\\\\underline{\overline{\mathsf{n = 36}}}$

QUESTÃO A.

Agora, usaremos a relação das diagonais:

$\boxed{\mathsf{d = \dfrac{n\cdot (n-3)}{2}}}\\\\\\\mathsf{d - diagonais}\\\mathsf{n - n\acute{u}mero~de~lados}$

Sabemos que o polígono, possui 36 lados, logo seu número de diagonais é dado por:

$\mathsf{d = \dfrac{36\cdot (36-3)}{2}}\\\\\mathsf{d = \dfrac{36\cdot 33}{2}}\\\\\mathsf{d = 18\cdot 33}\\\\\underline{\overline{\mathsf{d = 594}}}$

QUESTÃO B.

O ângulo central de um polígono regular, pode ser calculada pela relação:

$\boxed{\mathsf{\alpha = \dfrac{360}{n}}}\\\\\\\mathsf{\alpha - medida~do~\hat{a}ngulo~central}\\\mathsf{n - n\acute{u}mero~de~lados}$

Um polígono de 36 lados, possui ângulo interno igual a:

$\mathsf{\alpha = \dfrac{360}{36}}\\\\\underline{\overline{\mathsf{\alpha = 10}}}}$

Que tal aprender mais sobre o número de diagonais e o ângulo central de um polígono regular?! Experimente as questões abaixo ;)

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