Question

Um poliedro convexo de 25 arestas é formado por n faces triangulares, n+1 faces quadrangulares e n+2 faces pentagonais. O número de vértices desse poliedro é:

Answer 1

Olá, tudo bem?

Sabendo que a quantidade de arestas (25) corresponde a multiplicação da quantidade se faces (n, n + 1, n+2) pela quantidade de lados de cada face e consequente divisão por dois.

• 1° passo: descobrir a quantidade de faces.

Use o princípio explicado acima, obterá isso:

$arestas= \frac{3(n) + 4(n + 1) + 5(n + 2)}{2} \\ \\ 25 = \frac{3n + 4n + 4 + 5n + 10}{2} \\ \\ 3n + 4n + 4 + 5n + 10 = 25 \times 2 \\ 3n + 4n + 4 + 5n + 10 = 50 \\ 12n + 14 = 50 \\ 12n = 50 - 14 \\ 12n = 36 \\ n = 36 \div 12 \\ n = 3$

Observe que descobrimos o valor n, mas não o número de faces.

O número de faces sera:

n + (n + 1) + (n + 2) = 3 + (3 + 1) + (3 + 2) = 3 + 4 + 5 = 12 faces.

• 2° passo: aplique os valores na fórmula de Euler.

F + V = A + 2

12 + V = 25 + 2

12 + V = 27

V = 27 - 12

V = 15

São 15 vértices. ✅

Espero ter ajudado :-) Bons estudos.