Question

Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangulares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. O número de arestas é:? me ajudeeem por favor!

Answer 1

Boa noite!

Dados:
V = 10
Faces ==> 3 e 4 arestas (por face)
T ==> total de faces triangulares
Q ==> total de faces quadrangulares

Q, T, F ==> Nessa ordem, uma PA

Então:
F = T + Q (total de faces)
Por ser uma P.A., T é média dos extremos, então:
T = (Q+F)/2

Substituindo:
F = (Q+F)/2+Q
2F = Q+F+2Q
F = 3Q

Calculando o total de faces quadrangulares:
T = (Q+3Q)/2 = 4Q/2 = 2Q

Arestas por face quadrangular = 4
Arestas por face triangular = 3
2A = 3T+4Q = 3(2Q) + 4Q = 10Q
A=5Q

Utilizando o Teorema de Euler:
V+F=A+2
10+3Q=5Q+2
2Q=8
Q=4

Com o valor de Q:
T=2Q=2(4)=8

Total de arestas:
A=5Q
A=5(4)=20

Espero ter ajudado!

Answer 2

Resposta:

(A) 10

(B) 17

(C) 20

(D) 22

Opção correta: C