Question

Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais . Quantas faces tem de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 retos ?? gostaria de saber, por favor.

Answer 1

Olá! :)

Conhecida a soma dos ângulos das faces, temos o total de vértices:

$S=\left(V-2\right)\cdot 360^{\circ}\\32\cdot 90^{\circ}=\left(V-2\right)\cdot 360^{\circ}\\V-2=\dfrac{32\cdot 90^{\circ}}{360^{\circ}}\\V-2=8\\\boxed{V=10}$

Como temos A=15:

$V+F=A+2\\10+F=15+2\\\boxed{F=7}$

Por possuir somente faces quadrangulares e pentagonais:

$2A=4Q+5P\\2\cdot 15=4Q+5P\\\begin{cases}30=4Q+5P\\7=Q+P\end{cases}$

Resolvendo-se o sistema por qualquer método desejado obtemos:

$\boxed{\boxed{P=2\\Q=5}}$

Espero ter ajudado!

Answer 2

O poliedro tem 7 faces.

5 quadrangulares e 2 pentagonais.

Se o poliedro convexo possui 15 arestas, significa que no total das faces há 30 arestas.

4 arestas vezes x faces quadrangulares = 4x arestas.

5 arestas vezes y faces pentagonais = 5y arestas.

Logo, temos:

4x + 5y = 30

32 ângulos retos é igual a 32 ângulos que medem 90°. Logo:

32 x 90 = 2880º.

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

A soma dos ângulos internos de um pentágono é 540°.

Logo:

360x + 540y = 2880º

Simplificando:

2x + 3y = 16

Fazemos um sistema de equações:

{4x + 5y = 30

{2x + 3y = 16 ---> ·(-2)

{4x + 5y = 30

{-4x - 6y = -32  +

- y = - 2

y = 2  

2 faces pentagonais

Agora, o valor de x:

4x + 5y = 30

4x + 5.(2) = 30

4x + 10 = 30

4x = 30 - 10

4x = 20

x = 20/4

x = 5

5 faces quadrangulares

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