Question

Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.

Answer 1

Sendo:

X o número de faces triangulares

Y o número de faces quadradas


Sabendo que a quantidade de arestas pode ser achada pela multiplicação entre o numero de lados do formato da face e o número de faces do formato escolhido, dividido por 2 é possível achar a quantidade arestas

Logo:

Quantidade de arestas totais = (X . 3)/2 + (Y . 4)/2

15 = 3X/2 + 4Y/2

Tirando a fração

30= 3X + 4Y (Equação n°1)



Vamos usar a outra informação que ele deu, que a soma dos ângulos internos das faces é igual a 2160°

A soma dos ângulos internos de um triângulo é de 180° e de um quadrado é 360°.

Assim, X . 180° + Y . 360° = 2160°

Simplificando

X + 2Y = 12 (Equação 2)



Agora juntando as duas equações

3X + 4Y = 30
X + 2Y = 12


Resolvendo o sistema
X=6 e Y =3
Assim temos 6 lados com formato de triângulo e 3 lados com formato de quadrado!


Espero que tenha entendido, qualquer dúvida fique a vontade, abraços