Question

Um número inteiro positivo n é dito alfafa se o produto dos seus divisores positivos é n ao quadrado.Por exemplo,8 é alfafa,pois 1x2x4x8=64(oito ao quadrado).Determine a soma dos divisores do maior numero alfafa menor ou igual a 100.

Answer 1

Olá!

Segundo a definição dado no enunciado, um número n é dito alfafa se o produto de todos os seus divisores positivos for igual n².

Se pegarmos o número 100 e o fatorarmos encontramos:

$100 = 2^{2}.5^{2}$

Ao somarmos 1 aos expoentes do resultado anterior e depois os multiplicarmos, obtemos que o número 100 possui 9 divisores naturais: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 120.

Ao multiplicarmos todos eles não obtemos o valor igual a 100². Portanto, o número 100 não é alfafa.

Logo, podemos pegar o próximo, o 99. Ao fatorarmos verificamos que ele também não é um número alfafa. Pegamos o próximo, até chegarmos no 95.

Ao fatorarmos, encontramos:

$95 = 5^{1}.19^{1}$

Ao somarmos 1 aos expoentes do resultado anterior e depois os multiplicarmos, obtemos que o número 95 possui 4 divisores naturais: 1, 5, 19 e 95.

Ao multiplicarmos esses divisores, encontramos 9025 que é igual a 95². Portanto, 95 é um número alfafa.

Logo, a soma de seus divisores será: 1 + 5 + 19 + 95 = 120.

Espero ter ajudado!